Za niz , posmatrajmo sledeća dva podniza:









Pošto oba podniza konvergiraju ka broju 1, onda i niz konvergira ka 1.

Ograničen je odozgo sa 3, što se vidi iz .

Ograničen odozdo sa 0 što se vidi iz .

Nije monoton, jer "šeta", {0, 3, 0.5, 1.66667, 0.666667, 1.4, 0.75, 1.28571, 0.8, 1.22222, 0.833333, 1.18182, 0.857143, ...}.

Evo i grafički :


Za ostale probaj sam, pa ako zapneš javi.
Najlakše je naći limes. (po meni).

za racunanje limesa:
u drugom izvuci
treci racionalises
cetvrti, obrati paznju da je funkcija sin ogranicena
i pogledaj jos jednom tu zbirku, tu imas dobro obradjene limese
dace ti da odredis prvo da li niz konvergira ili ne, a ako konvergira da izracunas , ili npr (primenom Stolca i slicno)

Verujem da će ti za monotonost i ograničenost dati nešto kao prvi niz.

Zbog toga ću za ostale naći samo graničnu vrednost.





. Drugim rečima: proizvod ograničenog i nula niza je nula niz.

Ok, ovo iz poslednjeg posta mi je jasno. Samo jedno: nula niz je ?

Sto se tice prvog posta, uokvirio sam:
[url]http://i41.tinypic.com/jpenow.png[/url]

Prvo uokvireno: Odakle su uopste nastala ova dva podniza? (Ako mozes detaljno da mi objasnis, jer nisam nikako upucen u ovo...)
Drugo: Odakle se stvorilo ovo ?
I trece i cetvrto: Ne kapiram uopste kako se vidi da je ogranicen i zasto je ogranicen... A takodje ne razumem ni kako si dosao do ovih brojeva kod zakljucka da nije monoton? I odakle ovo: , tacnije ovaj izraz posle znaka .

Pa logično je kad imaš (-1)^n u nizu da razdvojiš na dva slučaja.
Prvi kad je n paran broj tj. n=2k, k=1,2,3,... i kad je n neparan broj tj. n=2k-1, k=1,2,3,... .

Drugo će ti biti jasno posle prvog.

Ograničen je odozgo sa 3, jer za ma koje n (n-prirodan broj) tvoj niz , neće preći 3.

Odozdo jer nikad neće biti manji od nula.

Poželjno je uvek uprostiti opšti član, tako da se jasno vidi šta je maksimum ili minimum odnosno inf i sup,
jer ne smeš da koristiš izvode.

Što se nejednakosti tiče, uvek možeš iskoristi neku nejednakost da bi "olakšao sebi život".

Do poslednjeg razumem. A poslednje: kako da znam koju nejednakost smem da uzmem?

Probaš sa brojevima, ako ništa drugo.

Ispitaj ova dva, znači monotonost, ograničenost, tačke nagomilavanja, konvergenciju.

Prvi:








Nije ogranicen (bar mislim da nije).

Monoton - ovo ne znam kako da pogledam...




Nista nisam dobro uradio, sigurno....

Uh limesi ti nisu jača strana.

Podniz znači da gde god vidiš n menjaš 2n+1.

Isto važi i za 2n.

Btw


Inače , iz moje prethodne poruke, nije ni ograničen ni monoton.

_{[Ovu poruku je menjao SrdjanR271 dana 09.12.2011. u 19:31 GMT+1]}

Zar nije trebalo da se deli brojem koji ima najveci stepen?

Ti si nešto pobrkao.

Ako je moj (tvoj) niz npr.

Ispiši par članova.

Za n=1, n=2, n=3, n=4,... imamo

, znači sve je veći i veći....

A ti to što bi delio dobio bi da je on sve bliži ka broju 2, što nije tačno.

To što bi ti delio, to si pomešao sa nekim "limesom polinom kroz polinom".

Onda nisam dobro razumeo ovo:

Ti si ovde i gonju i donju podelio sa , zar ne? I odakle ti iz poslednjeg izraza da je jednako 1?




I sada ovo sto mi kazes da sam pobrkao sa limesima, znaci ovde ne vaze ista pravila kao god granicne vrednosti funkcije? Ne smem da delim brojem koji ima najveci izlozilac?

Tačno je da sam delio sa 2n (ili "izvukao" 2n).

Ali ja imam tu količnik, a ti imaš samo 2n+1.

Obnovi malo najobičnije limese.

A kako ti je to na kraju ispalo ? Zar ne bi trebalo -1?


I sto se tice monotonost, kada si uzimao par brojeva, gde si ih zamenjivao (sto se tice tvog prvog odgovora u ovoj temi)? Je l u prvobitni izraz ili u onim podnizovima?

Najbolje ti je u početni jer kao što sam napisao {0, 3, 0.5, 1.66667, 0.666667, 1.4, 0.75, 1.28571, 0.8, 1.22222, 0.833333, 1.18182, 0.857143, ...}.

Snimi kako ide 0<3>0.5<1.6......

Za monotonost (rast) treba ili <= <= <= <= , ili < < < < < < . Za opadanje monotono treba >>>>>>>> i >= >= >= .....

Znači da je svaki sledeći veći ili da je svaki sledeći manji.

Mi imamo "Mix". Pa zato nije ni rastući ni opadjući.

Kad je samo >>>>> ili <<<<<< kažemo da strogo opada (raste).

A to za 1 ili -1:

Odgovor je 1.

Aham, kapiram sada. Hvala :)

Ne znam da l si napisao nesto posle ovih dveju tacaka, ali nije mi izbacilo nista. Pa ako bi mogao da ispravis?

Mislim da bi najbolje bilo da sad kad misliš da si shvatio uradiš ovde samostalno neki zadatak, pa da mi to proverimo.

Nisam ništa tu ni napisao.

Znam da si ovo očekivao.



Moraš da provežbaš limese, plus sve ostalo o nizovima.

Slažem se.
Evo ova tri mi je dužan osto :)
http://www.elitesecurity.org/p3007677

Edit: Nemoj da žuriš!

Evo ovaj:





E sad, granicna vrednost za prvi je: , a za drugi: .



Ispravite me ako sam do ovde pogresio?

Tačno.

Samo što bih ja uzeo .

Ti kad užmeš , ne možeš da imaš . Jer .

Limesi su ok.

Nemoj da misliš da se sad ja tu pravim pametan, nego te učim kako treba.

E sad šta nam to sve što si uradio govori o nizu ?

Koja je razlika sada da li je ili . Kako da znam koje kad treba da uzmem? I sta je ovde uopste?

Sacu da probam da vidim sta to govori o ovom nizu.

Ako gledam ovaj (ako uopste ovaj treba da se gleda), on je ogranicen sa 1?
E sad, nije mi jasno sta znace ovi pojmovi: ogranicen odozgo ; ogranicen odozdo?

A monoton nije (bar bih tako rekao).

Po meni je ovo dobar primer.
Niz sin(n) je ograničen odozgo sa 1, odozdo sa -1, nije konvergentan, nije monoton.



Idem sad da puštam mužiku, na eventualna pitanja ću odgovoriti stura ili kasno noćas.

Zanima me kako se jos gleda ova ogranicenost sada? U kom izrazu gledam? Je l za oba ova podniza posebno, ili kako?

, i odatle imas da je , pa je ogranicen odozdo sa -1, a odozgo sa 1

To razumem. Ali pitam za ovaj moj primer sto sam uradio, nekoliko posta iznad Sonec.
Gde gledam ogranicenost, da li u ovim podnizovima ili u pocetnom izrazu niza?

Pa mozes da gledas na podnizovima, pa onda uzmes minumum donjih ogranicenja ta dva podniza, i to ti je donje ogranicenje pocetnog niza, a maksimum gornjih ogranicenja ti je gornje ogranicenje pocetnog niza. Il gledas odjednom ceo niz, pa tu vidis. Zavisi sve od situacije.

Ok, hvala :) Mnogo ste mi pomogli!

Aj Milose, odgovori na ovo pitanje.

EDIT: vidim da si vec nesto odgovorio, al mislim da je ovo bolji odgovor:
posto su granicne vrednosti (tacke nagomilavanja) ova dva podniza medjusobno razlicite, onda mozemo da kazemo da je nas niz divergentan.

Sada sam se opet zbunio ovim tvojim pitanjem. Tj. pogledao sam opet ovo sto sam radio oko ovog niza. I je l je tacno da je ogranicen sa 1?

Jeste, tacno je. Al mislim da ti je bitnije ono sto sam ti napisao za divergenciju (to moras da znas).

Da li bi mogao neko da i objasni resenje zadatka:
Ispitati konvergenciju niza ciji je opsti clan zadat sa:



e sad... znam da se radi preko teoreme o tri niza.. tj nadju se i takvi da je
i
zatim
i iz 1 i 2 sledi da je niz konvergentan ida je

nisu mi jasni b i c, kako se do njih doslo..? 3n u brojiocu predstavlja broj sabiraka u a (jel tako? :/), ali kako se dobijaju imenioci? da li je slucajno to sto se imenilac niza b poklopio sa imeniocem poslednjeg u a, a imenilac niza c sa prvim u a, ili je to uvek (mogu li tako da se traze dva niza za teoremu - preko 'formule'?)??

U nizu najveci sabirak je , a najmanji , to je ideja
Da, predstavlja broj takvih min i max sabiraka
U sustini, ako imas npr. , najveci sabirak je , a najmanji , pa vazi



_{[Ovu poruku je menjao Sonec dana 23.12.2011. u 01:21 GMT+1]}

Hvala puno

@Patkan1992:
Ostavi za sada po strani mootone i ograničene nizove.

Ako hoćeš nešta da uradiš idi sledećim redosledom:
1. Nauči rešavanje limesa
2. Aritmetička, geometrijska, harmonijska sredina i nejednakosti između njih.
3. Binomna formula
4. Bitne nejednakosti
5. Faktorijel i veze između faktorijela
6. Definicija niza
7. Definicija tačke konvergencije, tačke nagomilavanja i razlike između istih.
8. Uradi što više primera dokazivanja konvergencije niza po defiiciji.
9. Definicije broja e.
10. Tek onda: teorema o monotonim i ograničenim nizovima, Košijev princip konvergencije nizova...

Nemoj da shvatiš post kao zlonameran, jer čekaju te sledeće Analize (Matamatike) i sa njima: numerički redovi, funkcionalni nizovi i funkcionalni redovi.
Veruj mi da sam potošio kilometre živaca da nekima objasnim razliku između obične i uniformne konvergencije funkcionalnih nizova (redova).
Kada sam shvatio da ne razumeju konvergenciju numeričkih nizova, bilo mi je mnogo lakše.

Možeš sa još 10 dobrih primera, metodom prepoznavanja, da napribirčiš da položiš Analizu 1 (ili Matematiku 1).
Posle u Analizama (Matematikama) 2, 3 i 4 nećeš znati šta te snašlo.