[ Sonec @ 25.02.2012. 21:50 ] @
Neka je komutativan prsten sa jedinicom i neka je ideal prstena . je maksimalan ideal ako je:
1. pravi ideal ()
2. Ako je , je ideal prstena , tada je .

E sad, imamo na primer sledecu teoremu:
Teorema. Neka je komutativan prsten sa jedinicom i neka je maksimalan ideal prstena . Tada je polje.

I sad, u dokazu se koristi sledeci argument:

Neka je koji je razlicit od nule. Tada vazi , pa je

E sada mene zanima, otkud nama da je ideal prstena (jer to mora da vazi, ako vazi gornja konstatacija, jer je maksimalan ideal).

oznaka:

I da, jedno pitanje pored ovoga, ideali se definisu kao podgrupe aditivnog dela prstena (ima jos jedna osobina koju zadovoljavaju, al to me sad ne zanima).
Jel u tom duhu posmatramo sledeci zapis (ovo vazi za glavno idealske domene): , tj. ideal je generisan sa jednim elementom, al hocu reci, jel se definise ovako jer smo u aditivnoj notraciji? (nisam bio na ovom predavanju, al meni je to zaista logicno, jer da je u pitanju multiplikativna notacija, onda bih znao (kao za ciklcne grupe npr.), a ovde ide ovako jer je aditivna)
I da, ideale ne moze da definisemo kao podgrupe multiplikativnog dela prstena, jer multiplikativni deo prstena nije grupa?

****offtopic

kako da napisem znak za pravi podskup, ali sa precrtanom crtom, koliko sam izguglao to se postize pomocu naredbe
Code:
\subsetneq

ali za njeno koriscenje mi je potreban paket \amssymb, a koliko vidim on nije dostupan ovde na forumu LINK
[ Bojan Basic @ 26.02.2012. 01:25 ] @
Citat:
Sonec:
****offtopic

kako da napisem znak za pravi podskup, ali sa precrtanom crtom, koliko sam izguglao to se postize pomocu naredbe
Code:
\subsetneq

ali za njeno koriscenje mi je potreban paket \amssymb, a koliko vidim on nije dostupan ovde na forumu LINK

Može, ali se tu nešto komplikuje zbog ovdašnje implementacije LaTeX-a, ne znam ni ja previše tehničkih detalja. Postupa se ovako:
Code:
[tex]
\font\amssy=msbm12
$A\mathrel{\hbox{\amssy\char40}}B$
[/tex]

Rezultat: .
[ Nedeljko @ 26.02.2012. 07:45 ] @
Citat:
Sonec: E sada mene zanima, otkud nama da je ideal prstena (jer to mora da vazi, ako vazi gornja konstatacija, jer je maksimalan ideal).

oznaka:


Aksiome ideala se u ovom slučaju dokazuju. Koju aksiomu ne umeš da dokažeš?

Citat:
Sonec: Jel u tom duhu posmatramo sledeci zapis (ovo vazi za glavno idealske domene): , tj. ideal je generisan sa jednim elementom, al hocu reci, jel se definise ovako jer smo u aditivnoj notraciji? (nisam bio na ovom predavanju, al meni je to zaista logicno, jer da je u pitanju multiplikativna notacija, onda bih znao (kao za ciklcne grupe npr.), a ovde ide ovako jer je aditivna)


je najmanji ideal koji sadrži . Dakle, , ali onda za ma koje mora da važi . Obzirom da je ideal, što se lako proverava, onda je to najmanji ideal koji sadrži .

Citat:
Sonec: I da, ideale ne moze da definisemo kao podgrupe multiplikativnog dela prstena, jer multiplikativni deo prstena nije grupa?


Podgrupe možemo posmatrati u bilo kom monoidu, pa i multiplikativnom monoidu prstena. Međutim, ovako uvedeni ideali su najvažnija podstruktura prstena jer opisuju kongruencije, tj. najvažnije relacije ekvivalencije.
[ Sonec @ 27.02.2012. 17:53 ] @
Citat:
Nedeljko: Aksiome ideala se u ovom slučaju dokazuju.


1. je podgrupa od
Neka su . Tada je , a (jer je grupa) i jer je ( je podgrupa grupe ), to je i
Neka je , , tada je (gde je inverzna operacija grupe ). Slicnim argumentima dobijamo da .
Pa dobijamo da je podgrupa grupe .

2. Ako je i , tada je , a kako je ( je monoid), a (jer je ideal), to je i , tj.

OK?

Citat:
Nedeljko: Podgrupe možemo posmatrati u bilo kom monoidu


Jel mozes ovo malo da pojasnis ili da navedes neki primer. Cudno mi je da monoid moze da ima podgrupu.

@Bojan hvala
[ Nedeljko @ 27.02.2012. 19:36 ] @
Izvođenje ti je OK. No, šta nije jasno u tome da u nekom podmonoidu monoida svi elementi budu inverzibilni?
[ Sonec @ 27.02.2012. 20:26 ] @
Ako je podgrupa grupe , onda je ujedno i grupa. To vazi, zar ne?



Kako ces da uvedes u podmonoid operaciju za inverz kad ona ne postoji u monoidu. Jer sve operacije iz monoida predstavljaju restrikcije operacija na domen skupa koji je podskup domena monoida. Ili je mozda i neces uvoditi, samo ces reci ?

Aj da pitam i ovo, da li moze da podalgebra semigrupe bude grupa? Kako cemo tu, kad nemamo neutralni element?

[ miki069 @ 28.02.2012. 00:15 ] @
Nisam se mnogo udubljivao, jer je teorija, ali ako je komutativni prsten sa jedinicom,
onda i multiplikativna operacija ima neutralni element.
[ Nedeljko @ 28.02.2012. 17:47 ] @
Citat:
Sonec: Ako je podgrupa grupe , onda je ujedno i grupa. To vazi, zar ne?



Kako ces da uvedes u podmonoid operaciju za inverz kad ona ne postoji u monoidu. Jer sve operacije iz monoida predstavljaju restrikcije operacija na domen skupa koji je podskup domena monoida. Ili je mozda i neces uvoditi, samo ces reci ?

Aj da pitam i ovo, da li moze da podalgebra semigrupe bude grupa? Kako cemo tu, kad nemamo neutralni element?


Grupu možeš da definišeš i samo na jeziku grupoida.
[ Sonec @ 28.02.2012. 17:51 ] @
Ajde pokazi. Ali kada je definises, predstavi je i kao n-torku (domen, operacije, konstante, znas vec).
[ Nedeljko @ 28.02.2012. 19:13 ] @
Nema tu šta da se dokazuje. Kao što je monoid polugrupa u kojoj postoji bar jedan element sa osobinom da je neutralan za binarnu operaciju (pri čemu oznaka za njega ne mora da bude u jeziku), tako je i grupa polugrupa u kojoj postoji bar jedan element sa osobinama

1. da je neutralan i
2. da postoji operacija koja je u odnosu na njega operacija invertovanja,

pri čemu nas niko ne bije po ušima da tu operaciju stavljamo u jezik. Takođe, izaberi bilo koju grupu, "zaboravi" šta su neutral i operacija inverza i oni će moći da se rekonstruišu na tačno jedan način.
[ Sonec @ 28.02.2012. 19:59 ] @
Samo mi navedi primer. Preko primera se najlakse uci.

Ako ta operacija, oznaka, sta god, nije u jeziku, gde je onda?

To je malo pokvaren nacin konstruisanja grupe.
[ darkosos @ 28.02.2012. 20:07 ] @
U onome sto tebi treba, nema "menjanja" operacije, zar ne?
[ Nedeljko @ 29.02.2012. 00:14 ] @
U definiciji.

Kao što možeš reći da su neke polugrupe monoidi, a neke nisu. Ili u polugrupi postoji neutralni element ili ne postoji.
[ Sonec @ 29.02.2012. 00:37 ] @
Ajde navedi jednu takvu definiciju. Npr, za grupu, al preko jezika grupoida.

I primer podmonoida monoida kome su svi elementi inverzibilni. Pre bih se zadovoljio sa primerom semigrupe koja ima podalgebru koja je grupa, al bice dovoljno i za monoid samo.
[ Bojan Basic @ 29.02.2012. 00:44 ] @
Citat:
Sonec:
Pre bih se zadovoljio sa primerom semigrupe koja ima podalgebru koja je grupa, al bice dovoljno i za monoid samo.

Recimo, polugrupa , gde je definisana sa . Tada je podalgebra posmatrane polugrupe grupa.
[ Sonec @ 29.02.2012. 01:04 ] @
Da, sve ce proci, jeste grupa. Ali grupa sa jednim elementom, poprilicno trivijalna grupa.

Cini mi se da sam negde pre vec video slican primer, i to upravo od tebe Bojane.

Al i dalje bih zeleo da vidim definiciju grupe preko jezika grupoida. (mislim da znam kako bi ona glasila, al sacekacu Nedeljka ili nekoga drugoga da je kaze/ispise)
[ Bojan Basic @ 29.02.2012. 01:29 ] @
Citat:
Sonec:
Da, sve ce proci, jeste grupa. Ali grupa sa jednim elementom, poprilicno trivijalna grupa.

Napravi sam koliko god velik primer hoćeš: prosto namontiraj tako da ti u jednom ćošku bude kvadrat koji je grupa, a ostatak tablice popuni kako god želiš, pazeći jedino na asocijativnost (jedna mogućnost: popuni čitav ostatak tablice jednim te istim elementom).
Citat:
Sonec:
Al i dalje bih zeleo da vidim definiciju grupe preko jezika grupoida. (mislim da znam kako bi ona glasila, al sacekacu Nedeljka ili nekoga drugoga da je kaze/ispise)

Ja moram priznati da i dalje ne vidim gde zapinješ. No dobro, evo definicije.

Grupoid je grupa akko i .

Da li se možda nešto ne razumemo?
[ Sonec @ 29.02.2012. 09:24 ] @
Da, tako sam i mislio.

Al ne svidja mi se taj nacin kako god da okrenes, no, to je moja stvar.
[ miki069 @ 30.04.2018. 12:50 ] @
Podskup skupa svih polinoma sa osobinom da je p(1) = 0 je ideal prstena polinoma (P, +, *).

Da li je glavni ideal?

Ako gledam aditivnu operaciju, onda nije.

Ako gledam multiplikativnu operaciju, onda jeste, jer je generator ideala polinom x-1.

Mislim da jeste, ali bih voleo da otklonim neodumicu.

[ Nedeljko @ 30.04.2018. 15:44 ] @
Ideal komutativnog prstena sa jedinicom je skup koji ima osobine:

,
,
.

Ideal komutativnog prstena je glavni ako postoji takav da je

Odgovor na tvoje pitanje je potvrdan.
[ miki069 @ 01.05.2018. 15:58 ] @
Hvala Nedeljko.
[ Nedeljko @ 01.05.2018. 20:55 ] @
Prsten polinoma nad poljem je glavnoidealski prsten, tako da je svaki njegov ideal glavni.