Može, ali se tu nešto komplikuje zbog ovdašnje implementacije LaTeX-a, ne znam ni ja previše tehničkih detalja. Postupa se ovako:

Rezultat: .

Aksiome ideala se u ovom slučaju dokazuju. Koju aksiomu ne umeš da dokažeš?



je najmanji ideal koji sadrži . Dakle, , ali onda za ma koje mora da važi . Obzirom da je ideal, što se lako proverava, onda je to najmanji ideal koji sadrži .



Podgrupe možemo posmatrati u bilo kom monoidu, pa i multiplikativnom monoidu prstena. Međutim, ovako uvedeni ideali su najvažnija podstruktura prstena jer opisuju kongruencije, tj. najvažnije relacije ekvivalencije.

1. je podgrupa od
Neka su . Tada je , a (jer je grupa) i jer je ( je podgrupa grupe ), to je i
Neka je , , tada je (gde je inverzna operacija grupe ). Slicnim argumentima dobijamo da .
Pa dobijamo da je podgrupa grupe .

2. Ako je i , tada je , a kako je ( je monoid), a (jer je ideal), to je i , tj.

OK?



Jel mozes ovo malo da pojasnis ili da navedes neki primer. Cudno mi je da monoid moze da ima podgrupu.

@Bojan hvala

Izvođenje ti je OK. No, šta nije jasno u tome da u nekom podmonoidu monoida svi elementi budu inverzibilni?

Ako je podgrupa grupe , onda je ujedno i grupa. To vazi, zar ne?



Kako ces da uvedes u podmonoid operaciju za inverz kad ona ne postoji u monoidu. Jer sve operacije iz monoida predstavljaju restrikcije operacija na domen skupa koji je podskup domena monoida. Ili je mozda i neces uvoditi, samo ces reci ?

Aj da pitam i ovo, da li moze da podalgebra semigrupe bude grupa? Kako cemo tu, kad nemamo neutralni element?

Nisam se mnogo udubljivao, jer je teorija, ali ako je komutativni prsten sa jedinicom,
onda i multiplikativna operacija ima neutralni element.

Grupu možeš da definišeš i samo na jeziku grupoida.

Ajde pokazi. Ali kada je definises, predstavi je i kao n-torku (domen, operacije, konstante, znas vec).

Nema tu šta da se dokazuje. Kao što je monoid polugrupa u kojoj postoji bar jedan element sa osobinom da je neutralan za binarnu operaciju (pri čemu oznaka za njega ne mora da bude u jeziku), tako je i grupa polugrupa u kojoj postoji bar jedan element sa osobinama

1. da je neutralan i
2. da postoji operacija koja je u odnosu na njega operacija invertovanja,

pri čemu nas niko ne bije po ušima da tu operaciju stavljamo u jezik. Takođe, izaberi bilo koju grupu, "zaboravi" šta su neutral i operacija inverza i oni će moći da se rekonstruišu na tačno jedan način.

Samo mi navedi primer. Preko primera se najlakse uci.

Ako ta operacija, oznaka, sta god, nije u jeziku, gde je onda?

To je malo pokvaren nacin konstruisanja grupe.

U onome sto tebi treba, nema "menjanja" operacije, zar ne?

U definiciji.

Kao što možeš reći da su neke polugrupe monoidi, a neke nisu. Ili u polugrupi postoji neutralni element ili ne postoji.

Ajde navedi jednu takvu definiciju. Npr, za grupu, al preko jezika grupoida.

I primer podmonoida monoida kome su svi elementi inverzibilni. Pre bih se zadovoljio sa primerom semigrupe koja ima podalgebru koja je grupa, al bice dovoljno i za monoid samo.

Recimo, polugrupa , gde je definisana sa . Tada je podalgebra posmatrane polugrupe grupa.

Da, sve ce proci, jeste grupa. Ali grupa sa jednim elementom, poprilicno trivijalna grupa.

Cini mi se da sam negde pre vec video slican primer, i to upravo od tebe Bojane.

Al i dalje bih zeleo da vidim definiciju grupe preko jezika grupoida. (mislim da znam kako bi ona glasila, al sacekacu Nedeljka ili nekoga drugoga da je kaze/ispise)

Napravi sam koliko god velik primer hoćeš: prosto namontiraj tako da ti u jednom ćošku bude kvadrat koji je grupa, a ostatak tablice popuni kako god želiš, pazeći jedino na asocijativnost (jedna mogućnost: popuni čitav ostatak tablice jednim te istim elementom).

Ja moram priznati da i dalje ne vidim gde zapinješ. No dobro, evo definicije.

Grupoid je grupa akko i .

Da li se možda nešto ne razumemo?

Da, tako sam i mislio.

Al ne svidja mi se taj nacin kako god da okrenes, no, to je moja stvar.

Podskup skupa svih polinoma sa osobinom da je p(1) = 0 je ideal prstena polinoma (P, +, *).

Da li je glavni ideal?

Ako gledam aditivnu operaciju, onda nije.

Ako gledam multiplikativnu operaciju, onda jeste, jer je generator ideala polinom x-1.

Mislim da jeste, ali bih voleo da otklonim neodumicu.

Ideal komutativnog prstena sa jedinicom je skup koji ima osobine:

,
,
.

Ideal komutativnog prstena je glavni ako postoji takav da je

Odgovor na tvoje pitanje je potvrdan.

Hvala Nedeljko.

Prsten polinoma nad poljem je glavnoidealski prsten, tako da je svaki njegov ideal glavni.