Metrički koji nije normiran je bilo koji metrički prostor na skupu koji nema vektorsku strukturu. Takođe, primer metričkog prostora na realnoj pravoj koji nije normiran je dat metrikom .

Normiran prostor koji nije ni pred-Hilbertov, ni Banahov je prostor realnih polinoma sa normom .

Pred-Hilbertov koji nije Banahov je prostor realnih polinoma sa skalarnim proizvodom .

Banahov koji nije pred-Hilbertov je realna ravan sa normom .

Hilbertov prostor je isto što i Banahov pred-Hilbertov prostor, što na slici nije dobro prikazano.

Lako se dokazuje da se u svaki realan (kompleksan) vektorski prostor može uvesti skalarni proizvod na bar jedan način.

Korišćenjem Cornove leme dokazuje se da svaki vektorski prostor ima barem jednu bazu. Tada svaki vektor možemo izjednačiti sa preslikavanjem baze u njegove koeficijente u toj bazi, a skup takvih preslikavanja je isto što i skup preslikavanja baze u polje skalara sa osobinom da je skup vektora preslikanih u nenula skalar konačan. Ako je baza i vektorima i odgovaraju preslikavanja i tim redom, onda je jedan od mogućih skalarnih proizvoda

.

Definicija je korektna jer je samo konačan broj sabiraka različit od nule.

No, na istom vektorskom prostoru možeš uvesti razne norme, tako da vektorskom strukturom zapravo ništa nije rečeno. Razne metrike/norme/skalarni proizvodi služe za razne potrebe.

Međutim, Banahov prostor ne može imati prebrojivu dimenziju (pred-Hilbertov može). Kod recimo Hilbertovih prostora se razmatra takozvana ortogonalna dimenzija koja ga nad istim poljem skalara karakteriše do na izomorfizam i koja može biti bilo kolika.

Puno hvala, Nedeljko!



Hilbertovi prostori definisani su kao kompletni pred-Hilbertovi, a Banahovi kao kompletni normirani, pa sam površno previdela da se taj presek poklapa sa Hilbertovim prostorima.



U knjizi iz koje učim stoji ovako nešto: "U klasi metričkih prostora veoma značajni su normirani prostori, koji pored topološke imaju i vektorsku strukturu". Podrazumeva se da na svakom vektorskom prostoru možemo da uspostavimo preslikavanje koje je norma?



Da, tako smo u Hilbertovim prostorima uveli skalarni proizvod preko Furijeovih koeficijenata.

Skoro sam nesto cituckao oko ovoga. Naime, ako su to vektorski prostori nad poljima ili , a obicno i radimo sa takvim vektorskim prostorima, onda je odgovor potvrdan.

Neka je baza (Hamelova baza) datog vektorskog prostora . Tada se svaki vektor moze na jedinstven nacin zapisati u datoj bazi sa Tada definisimo (na primer) normu sa . Moze se pokazati da ovako definisano preslikavanje zaista zadovoljava definiciju norme, tj. da je norma datog prostora. (norma se moze definisati i sa )

Za slucaj kad vektorski prostor nije nad poljem il ne bih znao kakav je odgovor.