[ Sonec @ 19.05.2012. 14:31 ] @
| Interesuje me da li sam dobro resio sledeci zadatak: Izracunati  .Resenje. Neka je  . Dodefinisimo funkciju  tako da ona bude neprekidna (na zadatim intervalima): Dalje,  , ali kako vazi i za  , to mozemo reci da vazi za  .Dakle,  , tj. funkcija  je neprekidna.Dalje, treba pokazati da  , odnosno  ravnomerno konvergira po  .Za  vazi  (sto (ogranicenje) ne zavisi od ), a kako  (odnosno konvergira), to prema Vajerstrasovoj teoremi i  ravnomerno konvergira za . (ako se ne bismo malo odmakli od nule, imali bismo problem ako hocemo da pokazemo preko Vajerstrasa, jer bi jedino mogli da kazemo da  , a integral  divergira, pa ne mozemo preko Vajerstrasa)Dalje, moze se pokazati da ravnomerno konvergira po . Naime,  konvergira (u 0 je limes 1, u beskonacnosti Dirihle), a kako ne zavisi od parametra on i ravnomerno konvergira po  . Dalje, funkcija  i  funkcija  je opadajuca (po ). Pa su ispunjeni uslovi Abelove teoreme i mozemo reci da  ravnomerno konvergira po  . (primetimo da za uslov teoreme (koja sledi) nam nije potrebno da ravnomerno konvergira po , vec je dovoljno da konvergira za bar jedno  (sto i vazi, cak konvergira i u svim kao sto je upravo pokazano), ali da ce nam kasnije zatrebati ova osobina funkcije )Prema jednoj od teorema (ciji su uslovi provereni u prethodnom delu) vazi  za  . Dakle, za vazi , integral se resava posle dve parcijalne (mozemo reci za  jer je  bilo proizvoljno (naravno, takvo da vazi  ))Odnosno, dobijamo da je  .  mozemo naci iz  , jer je za  . Dakle, dobijamo da vazi  , odnosno  .E sad, treba izracunati integral i za  .To bi moglo ovako, ravnomerno konvergira po , a  je neprekidna na  , tako da prema jednoj od teorema vazi i da je neprekidna na  , pa vazi  . Pa vazi (kada se sve sklopi) da je  .Odavde se moze videti i da je Dirihleov integral  . |
