Tvrđenje nije tačno. Evo kontraprimera:

Još kada bi postavljač problema objasnio šta znači da je matrica A "pozitivno semi-definitna kvadratna matrica"?

Semi pozitivna?
Znači pola pozitivnih, pola negativnih članova.
Kao u Nedeljkovom primeru?

Evo sta kaze WP, ako joj je verovati: http://en.wikipedia.org/wiki/M...%28mathematics%29#Definiteness

Matrica je kvadratnog formata, dimenzije NxN. Pozitivno-semidefinitna znaci da je x'Ax>=0, kod pozitivno definitne vazi x'Ax>0, naravno za vektor razlicit od nula vektora. Pozitivo-semidefinitna znaci da ima karakteristicne korene koji su nula i pozitivni, dok pozitivno-definitna ima samo pozitivne korene. Problem sa pozitivno semidefinitnom matricom je da je moguce da nema inverznu,bas zbog nula korena, s obzirom na SVD (http://en.wikipedia.org/wiki/SV_decomposition) . U tom slucaju resenje linearnog sistema je numerickim metodama. Nedeljko, treba mi za kontraprimer matrica koja je pozitivno-semidefinitna ali ne i pozitivno-definitna.

Jesi li probala da pomnozis sa x' sa leve strane, pa da izvuces neki zakljucak iz toga sto sada leva strana ima samo nenegativne elemente, pa mora i x'b a "b je vektor cija je prva komponenta pozitivna a ostale komponente negativne"?

Ako je matrica pozitivno-definitna onda je i pozitivno-semidefinitna.
Ako je neko > 0 onda je automatski tačno i da je >= 0.
Ne razumem onda šta nedostaje Nedeljkovom primeru.

Evo kontraprimera sa simetričnom pozitivno poludefinitnom matricom, koja nije pozitivno definitna: