.

Sada se uvodi smena , odnosno ,



, .

.

Napokon je

.

Za , važi:

,

odakle se lako dokazuje da je

.

Ova formula se sada lako dokazuje indukcijom za svako realno . Kada to znamo, nije teško zaključiti da je cela suma jednaka jedinici.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 25.09.2012. u 23:06 GMT+1]}

Prvi je dobar, mada sam na umu imao drugacije resenje, pa cu sacekati jos malo dok ga ne pokazem, mozda se neko drugi seti.
Drugi ti nije dobar, tacnije, skoro si isterao do kraja (mada i tu imam drugacije resenje), samo si pogresio prilikom pustanja limesa.

Koliko se ja razumem, n je fiksno, m teži beskonačnosti, a polinom po m stepena n-1 sa pozitivnim vodećim koeficijentom, pa to teži beskonačnosti kada m teži beskonačnosti. Kada je n>1 realno, onda možemo dobiti rešenje ovako:

.

_{[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 25.09.2012. u 23:53 GMT+1]}

Pa i jeste, al onda rezultat nije 1, jer imas i onaj deo i ispred zagrade koji ne zavisi od m.

Nedeljko svaka čast za integral.

Za drugi Excel pokazuje da je tačan rezultat cele sume n/(n-1), a to je tačno ono što Nedeljko i ima ispred zagrade.
Bravo i za drugi.

Nedeljko je rekao sledece:



A kako konacno resenje nije 1, to onda svakako nije tacno. Pa sam zbog toga rekao (mada se mora priznati poprilicno traljvavo, jer sam apelovao na limes misleci na kraj):




I onda je Nedeljko (zbog moje traljavosti) poceo da pokazuje da je odgovarajuci limes binomnog koeficijenta zaista .

Da, konacno resenje jeste i to stoji ispred zagrade, ali je receno da je ono 1, pa se nije moglo uzeti za tacno.

U pravu si. Ja sam računao kao da i n teži beskonačnosti. Svašta!

Smatram da sam vam dao dovoljno vremena da pokusate da uradite zadatke i na drugi nacin (u odnosu na Nedeljkovo resenje).

Meni su se veoma svideli zadaci jer imaju (za mene) lepa resenja. Verovatno je to i zato sto ja kada vidim Gama i Beta funkcije pobenavim sav i sve mi je lepo sto se radi sa njima. Moram reci da sam pretpostavio da ce se prvi zadatak uraditi na nacin koji je uradjen (mislim na Nedeljkovo resenje) jer sam vidjao vec na par mesta (mislim i na ovom forumu, moguce je da je bio isti integral) da se koristi taj "trik". Resenje koje cu ja predstaviti verovatno koristi smenu koja nije toliko ocigledna (zbog dvojke koja se pojavljuje), ali koja tako lepo preoblikuje integral da bi svako trebalo da moze da zavrsi sam zadatak (jer posle smene Beta funkcija naprosto "vristi" da se primeni). Da ne duzim mnogo, evo ih (jos neka) resenja.


Kod prvog se uvede smena ,



Kod drugog samo treba raspisati binomni koeficijenat, a zatim faktorijele zameniti sa Gama funkcijom, i onda se Beta funkcija sama namece i posle je lako

Lepo, samo mislim da su moja rešenja direktnija i elementarnija. Naravno, primedba o omaški pri puštanju limesa stoji.

To si u pravu.

Evo jedan fin: za , gde oznacava sinus hiperbolicki.

Lako se rešava za .

Prvo, lako se dokazuje da je . Drugo, . Kada se tako predstavi sinus hiperbolički, integral se može integraliti član po član jer imamo integralnu dominantu (u okolini nule se ponaša kao za , a u okolini beskonačnosti kao ). Posle integraljenja član po član dobijamo da je

.

Nedeljko, ovde je , ne .

Ovo jeste tacan rezultat za integral za , ali to nije trazeni integral.

Inace, rezultat (za integral koji si ti resavao) se moze spakovati u jos jednostavniju formu, naime, , gde je Dirichlet Lambda Function.

I bilo bi lepo (ja to znam, al zbog ostalih koji budu citali jednoga dana) da ispises malo detaljnije resenje (za ovo sa ),u smislu, zasto je dati razlomak sa sinus hiperbolickim jednak bas takvoj sumi, i sam integral kad se svodi na Gama funkciju, znas vec, ako nemas vremena ni zelje, ispisacu ja.

Pa, ništa, .

Za važi

.

Stepeni redovi se unutar oblasti konvergencije mogu diferencirati član po član, pa je

.

Otuda je



za . Odatle sledi da je

.

Pritom se polazni integral posle te zamene može integraliti član po član, jer je integralna dominanta. Kada je pozitivno i blisko nuli, dominanta se ponaša kao za , a u okolini beskonačnosti kao .

Integracijom član po član dobijamo da je

.

Uvođenjem smene dobijamo konačno da je .

Da, sad je dobro.

Mogli smo da vidimo da je za i na drugi nacin.
Naime, .
Kako je , to dalje vazi

Izracunati:
1.

2.

S tim da drugi zadatak ne znam (za sada :)) da uradim. Mozda moze da se uradi slicno kao i prvi, al ja ne vidim kako (nesto sam pokusavao, al slaba vajda). Jedino (izmedju ostalog) sto sam primetio je da je izvod imenioca jednak brojiocu (ako zanemarimo ), al to sumnjam da mnogo sta znaci.

Ideja (koja je meni poznata) za resenje prvog zadatka nije ocigledna (kako kome), ali je samo resenje za mene lepo.

Čini mi se da kad napravimo zbirove parova susjednih k,k+1(zbog par,nepar) dobićemo nešto ovakvo:

..ako nisam šta zbrzio.Inače nemam pojma šta dalje.Pomaže li postupak kao na prvom zadatku?

Zbrzio si, dobija se . Sve ovo konvergira, tako da smemo da razdvajamo sume, samo je sad problem, kako naci sumu ciji su elementi oblika , moracu da razmislim malo o tome (a mozda se i neko seti), mozda da mu (kada je slucaj ) dodam , pa onda diferenciranjem nesto da dobijem, al nesto sumnjam. Ovaj drugi deo nije problem izracunati, svodi se na prvi zadatak jer je , pa se dobija .

I dobro, kako se radi prvi zadatak? Pokušao sam svašta, ali nisam uspeo.

Pa za prvi zadatak mozda moze da se svede na dif. jednacinu drugog reda. Za drugi nisam siguran imam par ideja...

Može i drugi da se svede na diferencijalnu jednačinu drugog reda. No, u oba slučaja se dobija nehomogena Ojlerova diferencijalna jednačina sa nehomogenim delom čija se integracija svodi na polazni red.

Da za resavanje nisam bio siguran, ne znam toliko dobro diferencijalne jednacine pa nisam siguran dali za ove postoji analiticko resenje...

Primetimo prvo da je

Koristicemo dobro poznat (za sinus pogotovo) identitet , koji ovom prilikom necemo dokazivati.

Logaritmujuci (ocigledno) obe strane dobijamo:

Diferencirajuci obe strane po dobijamo:

Neka je . Tada dobijamo

Dakle, nasli smo da je

Sad je lako, stavimo i dobijamo nas slucaj. Dakle, , odnosno

Ova suma se moze naci vrlo lako. Ponekad ne treba bespotrebno petljati. Naravno, resenje je parcijalna dekompozicija izraza pod sumom. Naime, . Primetimo da je -vi clan oblika , tj. primecujemo pravilo kako se uzastopni clanovi u datoj sumi skracuju. Sada lako nalazimo da je .

I neko bi sad rekao, odlicno, nasli smo polaznu sumu . E pa, prc, nismo, jer ne vazi , ja sam pogresio u racunu tada. Naime, ideja razdvajanja na parove se ne moze primeniti tako da suma ostane da ide od do . Moze da se razdvoji ali tako da indeksi idu po neparnim brojevima , onda bi bilo korektno, ali bi bilo zeznuto naci tu sumu. Ako bismo rastavili na parne i neparne clanove, dakle, oblika , onda bi islo lepo redom, ali bismo dobili komplikovaniju sumu, naime, tada bi vazilo . Ali, treba ovo izracunati.

Al ako nista, za utehu, na ovaj nacin smo nasli sumu . Iz prethodnih razmatranja nalazimo

Ali uspeo sam da izracunam i pocetnu sumu, polazeci od pocetne sume (dakle, sve ove modifikacije mi nisu bile od nekog veceg znacaja). Naime, iz mog prethodnog posta nalazimo
Iz transformacije nalazimo dalje a zamenjujuci sa nalazimo odnosno .
Ovde je prakticno kraj, jer stavljajuci nalazimo , a zatim stavljajuci nalazimo , odnosno sto je i trebalo naci.

E, alal ti kupus za ovo.