Jedna funkcionalna jednacina

[ Teoreticar @ 25.11.2012. 22:24 ] @

Znaci u pitanju je ova jednacina f(x+y)=f(x)f(y)f(xy) naci f(x):R - R

znaci , ja sam prvo logaritmirao datu jednakost , a onda uveo smjenu ln f(x)=g(x) i dobijem nakon toga ovu jednadzbu:

g(x+y)=g(x)+g(y)+g(xy), pokazem da je rjesenje ove jednadzbe g(x)=0, tj. f(x)=1... (pokazuje se da je funkcija neparna a povecam broj varijabli tako sto y zamijenim sa y+z, itd...ne znam ima li potrebe detaljisati? )

No, sada je ocigledno da su i f-je f(x)=-1 i f(x)=0 rjesenja koja ne dobijem navedenim postupkom...

Je li nesto ne stima? :)

[ Nedeljko @ 25.11.2012. 22:38 ] @

Možeš da logaritmuješ samo pozitivne vrednosti.

[ Teoreticar @ 25.11.2012. 22:39 ] @

Ma da, to mi je jasno...Jesam li onda dobio sva rjesenja jednacine-funkcije na ovaj nacin?

[ Nedeljko @ 25.11.2012. 23:28 ] @

Ako je

za neko

, onda je

.

Dakle, rešenje koje nije identički jednako nuli mora biti svuda različito od nule, pa i u nuli. Zamenjujući

dobijamo da je

,

odakle su vrednosti funkcije

u svim tačkama istog znaka. Lako se dokazuje da ako je

rešenje, onda je to i

, pa se opšti slučaj svodi na pozitivan slučaj.

[ Nedeljko @ 26.11.2012. 18:10 ] @

Citat:

Teoreticar: pokazuje se da je funkcija neparna a povecam broj varijabli tako sto y zamijenim sa y+z, itd...ne znam ima li potrebe detaljisati?

Može tako.

.

Jedno rešenje je svakako nula funkcija. U suprotnom funkcija nije jednaka nuli ni u jednoj tački, pa je

Pošto je funkcija sa desne strane simetrična, simetrična je i sa leve strane, pa je

.

Neka su

proizvoljni i

. Prema prethodnom je

.

Dakle, funkcija je konstantna van nule. Lako se zaključuje da ta konstanta zadovoljava zakon

. Osim toga je

,

pa je funkcija i u nuli jednaka istoj toj konstanti.

[ Teoreticar @ 29.11.2012. 15:03 ] @

Nedeljko, hvala mnogo, nisam stigao prije da ti se zahvalio, bio sam bez net-a.... Pozdrav veliki...

[ Teoreticar @ 29.11.2012. 15:06 ] @

Ja sam prvobitno dobio zadnji redak isto...samo sto sam zakljucio da je f parna i da je f(x na 2) jednako f(x) (sorry za improvizaciju)...tako sam nekako uspio raspetljati...pa reko da vidim sta je ispravno...