[ markkooo @ 29.11.2012. 15:22 ] @
Molio bi za pomoc oko sljedeceg zadatka
Neka je N normiran prostor.
Pokazati sljedece:
N je Banahov akko je je njegov metricki potprostor A={x iz N:||x||=1} je kompletan.

Smijer => je jasan jer je ovo zatvoren potprostor Banahovog=> on je i sam Banahov.
<= imam ideju ali nikako da dodje m do raazultata:
Uzmem neki niz x_n koji je Kosijev i normiram ga....Naravno on je podskup A. I ima konvergentan podniz...
Kako da to povezem sa pocetnim nizom?????
Zahvaljujem na svakoj pomoci...
[ Nedeljko @ 29.11.2012. 16:05 ] @
Prvo, ako imaš Košijev niz koji divergira, onda postoji neko takvo da su svi članovi niza počev od nekog mesta po normi veći od . Onda pređeš na podniz onih koji imaju normu veću od i on će biti Košijev i divergentan. Razmotri niz . On će takođe biti Košijev jer

.

On je naravno konvergentan. Recimo da konvergira ka . Obzirom da je niz Košijev zbog



i da je konvergentan jer se nalazi u kompletnom polju skalara, postoji neko kome on teži. Dokažimo da će biti limes niza .

.

Kada ovo teži nuli jer je niz ograničen kao Košijev.
[ markkooo @ 29.11.2012. 16:37 ] @
Zahvaljujem puno...