Da probam ovako:

Šahovski turnir od 4n takmičara se igra tako što svako igra sa svakim po jedanput. Za pobedu se dobija jedan poen, za izgubljen meč 0 poena, a za remi oba igrača dobiju po pola poena.

Iz ove postavke sledi da se turnir igra u 4n-1 kola, a u svakom kolu se odigrava 2n mečeva.

Ukupan broj poena koji mogu ostvariti svi igrači zajedno je 2n(4n-1).

Uzmimo da je, u najgorem slučaju, svaki od prvih n takmičara pobedio ostalih 3n takmičara. Pobeda/poraz/remi između prvih n takmičara nije bitan, ali pretpostavimo (zbog jednostavnijeg računa) da je prvi pobedio sve ostale, drugi sve osim prvog itd.

Tada je prvi takmičar osvojio 4n-1 bodova, drugi 4n-2 itd. dok je n-ti osvojio 4n-1-n=3n-1 bodova.

Ukupan broj bodova koji su osvojili takmičari rangirani od 1 do n je n(4n-1+3n-2-1)/2=n(7n-2)/2

Tada treba dokazati da je n(7n-2)/2 <= 2n(4n-1) - n(7n-2)

Kada se ovo sredi dobije se: n(n-1) >= 0

Ovo je tačno za svako n iz skupa prirodnih brojeva.

Hvala puno, samo ja ovo kad sredim(poslednju nejednakost), dobijem .. :/

OK, napravio sam dve greške u prepisivanju, ali krajnji rezultat mi je (skoro) tačan (a tvoj nije)

Prvo, n(4n-1+3n-2-1)/2=n(7n-2)/2 nije tačno nego treba n(4n-1+3n-1)/2=n(7n-2)/2 (-2 je višak) u prvoj verziji

Drugo, n(7n-2)/2 <= 2n(4n-1) - n(7n-2) nije tačno, treba n(7n-2)/2 <= 2n(4n-1) - n(7n-2)/2

Kada se ovo sredi, dobije se
2n(4n-1)-n(7n-2)>=0
8n^2-2n-7n^2+2n>=0
n^2>=0

Oki, hvala puno.. :)
A, da, samo da pitam za ovo koliko je n-ti takmičar osvojio poena, ovde piše 4n-1-n, da nije možda 4n-n, meni nešto tako logično, ako je prvi osvojio 4n-1, drugi 4n-2, onda n-ti 4n-n? Ili ja nisam skontala kako treba... :)

Oki, hvala puno.. :)
A, da, samo da pitam za ovo koliko je n-ti takmičar osvojio poena, ovde piše 4n-1-n, da nije možda 4n-n, meni nešto tako logično, ako je prvi osvojio 4n-1, drugi 4n-2, onda n-ti 4n-n? Ili ja nisam skontala kako treba... :)

E, sada si ti u pravu, a ja sam greške ispravljao po sećanju.
N-ti takmičar je osvojio 3n bodova, pa je onda izraz n(7n-1)/2, te na kraju imamo n(n-1)>=0.