Za taj drugi, primetiti da je funkcija konveksna funkcija, i onda primeniti tvrdjenje koje kaze da ako je funkcija na intervalu , onda je ona konveksna ako i samo ako vazi .

Drugi može i indukcijom.
Baza indukcije je n=1, ali sam namerno radio za n=2.
Na kraju uradiš samo sve slučajeve x veće/manje/jednako od y.
Proizvod je uvek veći ili jednak 0.

Hvala puno na resenju!!!

U prvom valjda pokušavaš da namestiš:



a ne



Ili sam ja nešta propustio?

Zadatak pokušavam da uradim na nivou kombinatorike, ali mi se ništa ne "javlja".
Koji je fakultet, odnosno nivo ispita?
Čisto da bih znao šta je dozvoljeno od naprednijih alata.


PS:
Ovaj editor (LaTex) ćeš najlakše naučiti (ili bar upotrebiti) kopiranjem i editovanjem već napisanih komentara.



_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 22.05.2014. u 21:48 GMT+1]}

Da upravu si, treba da se namesti . Inace upitanju je PMF, ispit je Elementarna matematika, dakle dozvoljeno je sve, tj. Mozes koristiti sve oblasti za resavanje zadatka.

Za nije definisano .

Prvi zadatak je koska. Primetimo da , jer su inace binomni koeficijenti jednaki nuli (ja sam uzeo tu definiciju koju sam nasao na netu, al obicno sam se pre susretao sa zadacima gde je sve bilo definisano na pocetku). Sad iskoristimo poznati identitet i problem se svodi na . Zato cemo se pozabaviti odredjivanjem sume . Jedan od nacina bi bio taj da produzimo sumu za kada su binomni koeficijenti jednaki nuli i uradimo sledece , gde smo koristili na kraju Paskalov identitet , pa su se clanovi u sumi medjusobno skratili. Dakle, nasli smo da je Vratimo se sad na nas problem. Primenom ove formule dobijamo da je

Ne vidim grešku, ali je rezultat mnogo mali da bi bilo tačno.

Jedinu gresku koju sam ja primetio je ta sto nisam dobijenu formulu primenio kako treba. Na kraju se dobija , odnosno, radi lepseg zapisa, . Dakle, ne , vec , odsnosno (mada je to isto kao i u tom binomnom koeficijentu). Ne znam na kojim sam drogama bio kada sam ovo pisao. Wolfram potvrdjuje ovo resenje link.

Da ne otvaram novu temu, a zadatak isto iz elementarne matematike.

Za sve prirodne brojeve k, n i m važi:



Kombinatorno je više nego jasno da važi jednakost.
Traži se dokaz.
Ništa ne uspevam.


I još jedan koji ne znam da finiširam:
Dokazati da se iz skupa od pet prirodnih brojeva uvek mogu izabrati 2 broja m i n tako da je deljivo sa 15.

Za prvi, razviti obe strane i na desnoj strani iskoristiti Kosijevo mnozenje redova. Identitet bi trebalo da iskoci odatle. Kombinatorni argument je sasvim u redu i smatram da se i on moze uzeti kao dokaz.

Bravo Sonec.
Izjednačavanjem koeficijenata uz se direktno dobija traženi identitet.

Poslednja cifra četvrtog stepena prirodnog broja može biti 0, 1, 5 ili 6. Dakle, bar dva od odabranih pet brojeva imaju četvrti stepen koji završava istom cifrom, pa razlika ima poslednju cifru 0, tj. deljiva je sa 5.

Za deljivost sa 3 dovoljno je rastaviti na činioce. Od pet brojeva, bar dva daju isti ostatak pri deljenju sa 3, pa je njihova razlika deljiva sa 3, tj, činilac (m-n) je deljiv sa 3.

_{[Ovu poruku je menjao berazorica dana 25.05.2014. u 09:33 GMT+1]}

Dokazati nejednakost:



Gde su a,b,c,d i e pozitivni realni brojevi

Ima li neko ideju?

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 06.06.2014. u 00:32 GMT+1]}

Dakle, imaš pozitivne brojeve za koje važi i treba dokazati

.

Pošto je geometrijska sredina jednaka 1, sredina četvrtog reda ne može da bude manja od 1, pa je

.

@nedeljko:
Ako sam dobro shvatio, x=a/b, itd?
A sa desne strane je b/a, ne a/b, tj 1/x?
Onda ti početna nejednačina (ono na 4ti >= zbir) nije dobra jer je kod zbir u stvari 1/x+1/y...?

Ostatak rešenja neću komentarisati jer nemam dovoljno znanja, samo mi je ovo zapalo za oko... jer je sa jedne strane a/b a sa druge b/a itd.


P.S. Izvini, a ne znam ni kako se ovaj tex upotrebljava.

U pravu si. Dakle, meni treba nejednakost

,

odnosno

za .

Ovako ne mogu direktno da iskoristim Jensenovu nejednakost jer mi treba , a ne jer znam da je . No, to možemo postići uvođenjem smene . Uslov prelazi u uslov , a nejednakost dobija oblik

za ,

pri čemu se lako proverava da jeste konveksna funkcija.

Za Gojka: screenshot kako mi ne radi tex: