Čudna formulacija. Konkretan broj nema šta da može ili da ne može da bude potpun kvadrat, već ili to jeste ili to nije.

Izračunaj mu ostatke pri delenju sa 5 i 25, pa kada utvrdiš da je deljiv sa 5, ali ne i sa 25, onda to svakako znači da nije potpun kvadrat.

U stvari, dovoljno je i samo sa 25.

hvala Nedeljko na pomoci

moze li mi neko detaljnije raspisat rjesenje

1.DOKAZATI DA LI BROJ 2^2+4^4 +6^6+....+50^50 MOZE BITI KVADRAT CIJELOG BROJA.
(ako zadatak glasi ovako nekako ja ću dati upute kako dokazati da ne može!)

Napišimo ovaj zbir kao zbir kvadrata 2^2+(4^2)^2+..........+(50^25)^2

Najprije osnovna ideja:(LIči mi kao da zbir svih prethodnih kvadrata nisu dovoljni da onom poslednjom uvećaju stranicu za 1.)
Za koji broj a vrijedi.Znamo da je .

Dalje možemo probati za pa nam je tu .Dakle postoji neki najmanji broj a za svako k<a tako da vrijedi:



Sad bi trebalo lijepo matematičkim jezikom krenuti malo sa početka zbira,zatim nešto poopšteno pa onda na kraju provjeriti:



(izgleda da nije, jer kad se malo sredi imamo 4.5*10^40<5.9*10^42 pa ispade da suma svih prethodnih kvadrata nije dovoljna da zadnjem poveća stranicu za 1.)

Za rešenje postavljenog zadatka treba samo pokazati da poslednja cifta datog zbira nije iz skupa {2,3,7,8}. A to nije teško.

Pa, šta s tim? Broj 10 se ne završava cifrom iz tog skupa, pa nije potpun kvadrat.

Broj iz zadatka ima poslednje dve cifre 80, a to kod potpnih kvadrata nije moguće.

Zadatak je da se pokaže da "može". Ako je poslednja cifra jedna iz skupa {2,3,7,8} onda sigurno ne može. Dakle, ako poslednja cifra nije iz skupa {2,3,7,8} onda još uvek "može". Naravno, "može" ne znači mora.

Samo nam još reci kako si došao do toga da su poslednje dve cifre 80?

Ovaj broj nije potpun kvadrat, tako da tu nema šta da "može" ili "mora". Tačno određen ceo broj ili jeste ili nije potpun kvadrat. To je isto kao da si rekao da broj 7 može biti potpun kvadrat jer je ceo Postavka onako kako je napisana nema smisla. Smislene formulacije su:

1. Dokazati da broj nije potpun kvadrat.
2. Ispitati da li je broj potpun kvadrat kvadrat.

Treba odrediti ostatak pri delenju sa 25.

,
,
,
,
.

Na analogan način se zaključuje i za ostale brojeve deljive sa 10.

,
,
.

Ovo poslednje na osnovu Ojlerove teoreme o totijent funkciji.

,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

Kada se sve sabere, dobija se

.

Dakle, ostatak pri delenju broja brojem 25 je 5, odnosno on je deljiv sa 5, ali ne i sa 25, pa pošto je 5 prost broj, dati broj nije potpun kvadrat.

Nemoj meni prebacivati što je zadatak tako formulisan.

Nisi nam odgovorio kako si došao do toga da su poslednje dve cifre 80. Ili si od toga odustao?

@hotchimeny

Ti dokaži da ta suma nije jednaka 8882284929761913007469090601976810669675162425501147919227679010905925926980109523780 ili odustani.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%282k%29^%282k%29+k%3D1+to+25
Hint: kao što je Nedeljko pokazao da je gornja suma po modulu 25 jednaka 5, ti možeš da dokažeš da je po modulu 100 jednaka 80...

A šta, studenti mogu da koriste wolfram na ispitu?

No dobro, posledjna je cifra 0 --> ta suma može (ali nije mora) biti kvadrat nekog broja koji se završava nulom. To može (poslednja cifra) da se odredi pomoću ostataka pri delenju i tu je kraj zadatka.

U istom smislu evo sledeći zadatak:

2^2 + 4^4^4^4 + 6^6^6^6^6^6 + 8^8^8^8^8^8^8^8 + ... + 50^50^ ... ^50

Šta kaže wolfram?

Pa hajde, dokle će wolfram da računa?

Pa bolje ćuti, jer sam ti dokazao da je Nedeljko u pravu. U poređenju sa njim, ti si pacer, jer je on video tri poteza ispred tebe.

Evo kako se dokazuje:

Da bi neki broj n bio potpuni kvadrat, mora biti gde su prosti brojevi (ne obavezno različiti). Broj u zadatku je očigledno deljiv sa , pa da bi se dokazalo da nije potpun kvadrat, mora postojati prost broj p>2 takav da je n deljiv sa p ali ne i sa . Prvi takav prost broj je 5 (jer je n deljiv sa 2 bar dva puta, a sa tri nije deljiv).

Ja sam pacer. Ali to što ste se vi mučuli sa wolfram ja sam izračunao napamet bez olovke i papira.

Pozdrav.

Ako je zadatak tako formulisan, onda nije dobro formulisan.

Svi sabirci su deljivi sa 4, pa je samim tim i zbir takav. Obzirom da je broj deljiv sa 4, a pri delenju sa 25 daje ostatak 5, onda mu je ostatak pri delenju sa 100 jednak 80.

Šta si izračunao?

Evo, još jednom sam pročitao zadatak.

Mogu samo da konstatujem:

"Piši kao što govoriš. Čitaj kako je napisano".

Čitanje nije račun.

Pre svakiog računa ide pisanje pa zatim čitanje napisanog i na kraju sledi račun.

Ono što ja hoću da naglasim to je odgovornost obrazovnih institucija prema svojim učenicima. Nastavnik mora biti odgovoran za ono što je napisao. Ako je zadatak formulisan tako kako je formulisan nije bitno šta je ko "mislio" već šta je napisao. I iz toga ne sme da bude nikakvih negativnih posledica po učenike a pogotovu ne zakidanje na bodovima.

A inače ovako kako neki pišu izgleda da se zalažu za korišćenje nedozvoljenih sredstava na ispitu. Ovde su neki koristili wolfram a to nije dozvoljeno pa čak su i predvidjene sankcije. Ja sad ne znam, možda je korišćenje nedozvoljenih sredstava na ispitu u skladu sa tvojim ranije iznetim stavovima u vezi selektivnog "pomaganja studentima da savladaju gradivo"?

Dakle, nisi ništa vizračunao.

Ja sam napisao rešenje bez ikakvog volframa. Takođe je dokazano da se broj završava sa 80 bez ikakvog volframa. Da, metod je isti kao za deljivost sa 25, a kada imamo ostatak pri delenju sa 25, onda je lako odrediti i poslednje dve cifre, kao što je odgovoreno ovde

Ako zadatak nije dobro formulisan, onda nije matematički i onda se tu priča o rešenju završava.

Tvoje "rešenje" se svodi na nalaženje barem jednog neophodnog uslova da broj bude potpun kvadrat, a da je zadovoljen. Takvih uslova ima koliko god hoćeš. Na primer, broj nije negativan. Osim toga, nigde nisi pokazao račun te poslednje cifre. "Rešenje" koje se zasniva na iskazu da je rešavač nešto uradio u glavi jer je to njemu lako se ne priznaje.

No, čisto sumnjam da je na tačmičenju zadatak bio tako nepismeno napisan. Daleko je verovatnije da je samo tako prenet.

Ništa više nije potrebno za ovako postavljen zadatak.

To nije predmet moje diskusije. Zanimaju me samo činjenice a ne šta je ko mislio. Čak i da se sada prepravi zadatak moje primedbe se odnose na početnu formulaciju.

Činjenica je da zadatak nije dobro postavljen, tako da se u toj formulaciji ne može ni rešavati.

A odgovrajući zadovoljen neophodan uslov je i da je broj nenegativan. Čemu onda komplikovanje sa nalaženjem poslednje cifre, koju uzgred nisi našao?

Šta ćeš uraditi povodom toga što zadatak nije postavljen na način na koji si ti zamislio?

Zadatak ne treba da bude postavljen kako neko zamišlja, već matematički korektno. Ako nije korektno postavljen, to se onda konstatuje i obrazloži i to je sve. To je varijanta po Vukovom "čitaj kao što je napisano".

Sa druge strane, ako je neko pogrešno prepisao formulaciju, može se pretpostaviti šta je mogla biti stvarna formulacija, pa je popraviti i rešiti takvu formulaciju. Time je neka korektna formulacija tačno rešena, a postavljač neka je uporedi sa originalom.

Sve ostalo je za Ultra MadZone.

Naravno da sam našao. Nije mi bila potrebna ni olovka ni papir ni wolfram da ocenim koja je poslednja cifra.
Koliko ljudi može takve stvari da računa napamet ne znam ali da može - može.

Onako, uzgred, da te pitam: da li ti misliš da to ne može da se izračuna bez olovke, papira, bez wolframa i drugih pomagala?

Nemam ja šta da mislim, samo konstatujem da nisi ništa napisao, pa prema tome nema osnova da ti se veruje da si bilo šta izračunao.

Isto kao što ti nemaš šda da misliš tako ni ja nemam šta da pišem.
Iz kog razloga? Ja tu ne vidim nikakav interes za sebe. Nisam dužan nikome da rešavam zadatke pogotovu ne za badava.

Osim toga ovde sam se uključio (kao i na ostalim temama) iz razloga odgovornosti nadležnih. Ko god je sastavio zadatak, nije slučajno napisao "može" jer to apsolutno nema šanse da se napiše slučajno. Dakle, taj ko je sastavljao zadatak imao je nešto na umu što mi verovatno ne znamo. Tako da kad je već tako napisano onda se mora preuzeti odgovornost za napisano.

I još nešto, takvih situacija ima na svim fakultetima. Jedan asistent sastavi zadatke ali se ne pojavi na pismenom već ga "slučajno" zamenjuje kolega. Kolega po pravilu ništa ne zna o zadacima. Iako je na istoj katedri kolega ne može da nadje objašnjenje zašto je neki zadatak očigledno naopako formulisan.

E to već nije odgovorno ponašanje i zato zadatak mora da se prizna u smislu kako je napisan a ne kako neko misli, baš kao što i ti odbijaš da "misliš" već od mene tražiš "napismeno".

Ti nemaš nikakav argument koji podupire tvoj stav da je zadatak nepismeno sastavio onaj ko ga je sastavio. Daleko je verovatnije da je samo ovde pogrešno prenesen.

U slučaju da je zadatak nekorektno postavljen, jedino moguće matematičko rešenje je obrazlaganje šta mu fali.

Taj broj "može biti kvadrat" isto koliko i broj 2.

Ne kažem ja da je zadatak "nepismeno sastavio" bilo ko. Već da je zadatak tako sastavljen sa nekom namerom a da mi ne znamo zašto je tako postupio.

Ali ako Maja nije tačno prenela zadatak onda se postavlja pitanje zašto to do sada nije ispravila. Na forumu je aktivna svo vreme tako da je mogla da reaguje.

Mislim da je o matematičkom aspektu ovog zadatka sve bitno već rečeno. Rasprava o tome da li je formulacija problematična zato što ju je vriskica tako prepričala ili pak zato što je takva i originalno bila em nije prikladna za ovaj forum, em ne znam ni kako bi se mogao doznati odgovor na pitanje (osim ako bi sama vriskica razjasnila stvari, ali ona to, koliko vidim, ne čini).