To zavisi od toga šta izabereš za aksiomu (ili aksiome) neprekidnosti.

Aksioma supremuma (S): Svaki neprazan odozgo ograničen podskup od ima supremum u .

Dedekindova aksioma (D): Ako je skup disjunktna unija nepraznih skupova i , pri čemu je svaki element skupa manji od svakog elementa skupa , onda postoji realan broj takav da su svi realni brojevi manji od članovi skupa , a svi realni brojevi veći od članovi skupa .

Arhimedova aksioma (A): Za ma koje , postoji takav da je .

Kantorova aksioma (K): Ma koji beskonačan niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala takav da je ima neprazan presek, odnosno .

Važi da je (S) ekvivalentno sa (D), odnosno sa konjunkcijom (A) i (K).

(D) povlači (S):

Neka je odozgo ograničen podskup od i neka je

,
.

Pošto za važi i ma koja majoranta skupa pripada skupu , skupovi i su neprazni. Očiglednosu disjunktni i unije im je . Ako i , onda postoji takav da je . Zbog ne može biti , pa je odnosno . Neka je kao iz (D). Neka nije majoranta od i neka je takvo da je . Onda za važi . Zbog važi , a zbog važi . Ta kontradikcija dokazuje da je majoranta od . Ukoliko bi neko bilo majoranta, postojalo bi takvo da je suprotno tome da je majoranta od . Stoga je supremum skupa .

S povlači D:

Ako važi S i A i B su skupovi kao u D, onda je skup A neprazan i odozgo ograničen, pa ima supremum c. Obzirom da je c majoranta od A, veći elementi od c ne mogu pripadati skupu A, pa pripadaju skupu B. Ako bi neki realan broj manji od c pripadao skupu B, onda bi i on bio majoranta skupa A, pa c ne bi bila najmanja majoranta (supremum). Prema tome, realni brojevi manji od c ne mogu pripdatai skupu B, pa pripadaju skupu A.

D povlači A:

Neka važi D i ne važi A. Neka su a i b takvi pozitivni realni brojevi da za sve prirodne brojeve n važi da je na manje ili jednako od b. Neka je A skup svih realnih brojeva x takvih da je x<na za bar jedan prirodan broj n i neka je B komplement skupa A. Pošto b ne pripada skupu A, b pripada skupu B. Takođe, a pripdada skupu A jer je a manje od 2a. Skup R je disjunktna unija nepraznih skupova A i B. Neka je x element skupa A i y element skupa B. Neka je n prirodan broj takav da je x<na, što je manje ili jednako od y, važi x<y. Neka je c razdva

(S) povlači (A):

Neka važi (S) i ne važi (A). Neka su takvi da . Skup

.

Skup je neprazan zbog a odozgo ograničen jer mu je majoranta. Stoga ima supremum . Zbog broj nije majoranta skupa pa postoji takvo da je , odnosno , što je u suprotnosti sa tim da je supremum skupa .

(S) povlači (K):

Neka je inkluzijski nerastući niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala i neka je . Zbog . Zbog i važi , odnosno , pa je niz neopadajući i za svako broj je majoranta niza (jer je za ma koje ). Stoga je skup nepraznan i odozgo ograničen, pa ima supremum , koji ne prelazi nijednu majorantu, pa ni . Stoga je , odnosno .

(A) i (K) povlači (D):

Neka su i kao u (D). Za i važi i konstruišimo nizove na sčedeći način:

, ,

.

Ako je , onda je i .

Ako je , onda je i .

Niz je neopadajući, a niz nerastući, pri čemu je , i . Stoga postoji neko koje pripada svakom od intervala . Takođe je .

Neka je . Pošto je postoji takvo da je , pa je zbog čega ne mogu oba od brojeva i da pripadaju intervalu . Obzirom da [/tex] zaključujemo da , pa zbog važi , odakle sledi .

Neka je . Pošto je postoji takvo da je , pa je zbog čega ne mogu oba od brojeva i da pripadaju intervalu . Obzirom da [/tex] zaključujemo da , pa zbog važi , odakle sledi .

Gustina skupa u je posledica od (A).

Neka je . Zbog postoji takvo da je , pa je . Postoji takvo da je . Uočimo najmanje takvo celobrojno . Dakle, , pa .

To zavisi od toga šta izabereš za aksiomu (ili aksiome) neprekidnosti.

Aksioma supremuma (S): Svaki neprazan odozgo ograničen podskup od ima supremum u .

Dedekindova aksioma (D): Ako je skup disjunktna unija nepraznih skupova i , pri čemu je svaki element skupa manji od svakog elementa skupa , onda postoji realan broj takav da su svi realni brojevi manji od članovi skupa , a svi realni brojevi veći od članovi skupa .

Arhimedova aksioma (A): Za ma koje , postoji takav da je .

Kantorova aksioma (K): Ma koji beskonačan niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala takav da je ima neprazan presek, odnosno .

Važi da je (S) ekvivalentno sa (D), odnosno sa konjunkcijom (A) i (K).

(D) povlači (S):

Neka je odozgo ograničen podskup od i neka je

,
.

Pošto za važi i ma koja majoranta skupa pripada skupu , skupovi i su neprazni. Očiglednosu disjunktni i unije im je . Ako i , onda postoji takav da je . Zbog ne može biti , pa je odnosno . Neka je kao iz (D). Neka nije majoranta od i neka je takvo da je . Onda za važi . Zbog važi , a zbog važi . Ta kontradikcija dokazuje da je majoranta od . Ukoliko bi neko bilo majoranta, postojalo bi takvo da je suprotno tome da je majoranta od . Stoga je supremum skupa .

Neka važi D i ne važi A. Neka su a i b takvi pozitivni realni brojevi da za sve prirodne brojeve n važi da je na manje ili jednako od b. Neka je A skup svih realnih brojeva x takvih da je x<na za bar jedan prirodan broj n i neka je B komplement skupa A. Pošto b ne pripada skupu A, b pripada skupu B. Takođe, a pripdada skupu A jer je a manje od 2a. Skup R je disjunktna unija nepraznih skupova A i B. Neka je x element skupa A i y element skupa B. Neka je n prirodan broj takav da je x<na, što je manje ili jednako od y, važi x<y. Neka je c razdva

(S) povlači (A):

Neka važi (S) i ne važi (A). Neka su takvi da . Skup

.

Skup je neprazan zbog a odozgo ograničen jer mu je majoranta. Stoga ima supremum . Zbog broj nije majoranta skupa pa postoji takvo da je , odnosno , što je u suprotnosti sa tim da je supremum skupa .

(S) povlači (K):

Neka je inkluzijski nerastući niz nepraznih ograničenih zatvorenih intervala i neka je . Zbog . Zbog i važi , odnosno , pa je niz neopadajući i za svako broj je majoranta niza (jer je za ma koje ). Stoga je skup nepraznan i odozgo ograničen, pa ima supremum , koji ne prelazi nijednu majorantu, pa ni . Stoga je , odnosno .

(A) i (K) povlači (D):

Neka su i kao u (D). Za i važi i konstruišimo nizove na sčedeći način:

, ,

.

Ako je , onda je i .

Ako je , onda je i .

Niz je neopadajući, a niz nerastući, pri čemu je , i . Stoga postoji neko koje pripada svakom od intervala . Takođe je .

Neka je . Pošto je postoji takvo da je , pa je zbog čega ne mogu oba od brojeva i da pripadaju intervalu . Obzirom da [/tex] zaključujemo da , pa zbog važi , odakle sledi .

Neka je . Pošto je postoji takvo da je , pa je zbog čega ne mogu oba od brojeva i da pripadaju intervalu . Obzirom da [/tex] zaključujemo da , pa zbog važi , odakle sledi .

Gustina skupa u je posledica od (A).

Neka je . Zbog postoji takvo da je , pa je . Postoji takvo da je . Uočimo najmanje takvo celobrojno . Dakle, , pa .

Jesi to prepisao odnekud ili "iz glave"?

Hvala Nedeljko.

Sve je jasno.

Hteo sam da pročitam tu knjigu iz koje je prepisan dokaz.
Ali dobro pošto je tebi sve jasno možda možeš da kažeš:

Kakav je to skup u oznaci R
takav da je unija disjunktnih skupova
i R sadrži tačku c
takvu da c ne pripada ni jednom skupu unije?

Nigde ne piše da c ne pripada nijednom od skupova A i B. Naravno da pripada nekom od njih, ali kom, to ne igra nikakvu ulogu. Bitno je da svaka tačka koja je levo od c pripada skupu A, a svaka koja je desno od c propada skupu B, odnosno i .

Dobro, ja onda pretpostavim "c element A".
U jednom momentu ti u izvodjenju navodiš

No pošto je pretpostavka "c element A" imamo kontradikciju.

Ne možeš to da pretpostavljaš. Može da bude i u skupu B.

Ne znam samo za šta ti to treba.

Ma znam da može biti u skupu B. Namerno sam pretpostavio naopako.

c je u stvari max(A) ili min(B)

Za šta mi treba? Iz radoznalosti hoću da pročitam tu literaturu.

Ništa od literature?

Onda, kako je "c supremum skupa X" kad je dato da je "X odozgo ograničen podskup od R" a ograničenje nije navedeno?

Literatura:
http://personal.pmf.uns.ac.rs/...s/sites/17/2015/11/skripta.pdf

Zanimljiva skripta. Otprilike za jedan kolokvijum.
Ali tu nema "Dedekindova aksioma".

Dok si još tu a obirom da si napisao da ti je "sve jasno" možda bi ti mogao da objasniš
na osnovu čega za skup X koji je odredjen kao "odozgo ograničen podskup od R" se
izvodi zaključak

obzirom da je skup A dat sa

Ja nikako ne uspevam da tu uklopim frazu "Pošto".
Zato sam pomislio da u literauturi iz koje je prepisan dokaz
ima poneka uvodna rečenica koja govori nešto više.

Na kraju sve to i nije bitno ako napisano shvatimo kao skicu dokaza.

A je definisan kao skup svih realnih brojeva manjih od bar jednog elementa skupa X. Pošto x pripada skupu X i x-1<x, važi da x-1 pripada skupu A.

Inače, sve ovo se obrađuje u većini udžbeika matematičke analize 1.

OK, ako sam te dobro razumeo frazu

treba tumačiiti

Tada stoji


U tom slučaju i frazu

treba tumačiti

itd, itd...
Zato ostatak dokaza važi samo za takvo x
ali ne mora da važi za ceo skup X, zar ne?

Konačno dobijamo da

nije valjan zaključak?

_{[Ovu poruku je menjao meldonijum dana 01.12.2016. u 17:06 GMT+1]}

Za svaki x iz X važi da je x-1 iz A.

Sad ne znači "bar jedan" nego
znači "svako" !

Ajd u zdravlje.

Da, to znači da iz uslova sledi .

Ako je prethodno određena vrednost, to znači da je iskaz netačan ili iskaz tačan.

Ako nije prethodno određeno, to znači da ne postoji dopustiva vrednost od za koju je i nije .

Ispunjava početni uslov iz "(D) povlači (S):".

Za x = 4 tačno je .

Ali nije tačno .

U (D) povlači (S) postoji definicija skupa preko skupa .

.

Kada zadaš , onda je jednoznačno određen. Ne može se birati proizvoljno.

Šta u toj definiciji ne zadovoljavaju skupovi koje sam naveo?

Ne zadovoljavaju to što 4 ne pripada skupu A iako je manji od bar jednog člana skupa X (recimo, od 4.5 koji je manji od 5, pa po definiciji skupa X pripada skupu X).

U stvari zadovoljava jer sam
nepostojeći kvantifikator tumačio kao "bar jedan".

Ne uklapa se. Za važi .

Hvala!
Primer koji si naveo pokazuje da je potrebno navoditi kvantifikatore.