[ miki069 @ 15.10.2020. 17:34 ] @
Da li je funkcija f(x)=acrtg(x) na intervalu [-1,1] kontrakcija? Znam definiciju kontrakcije i znam Lagranzovu teoremu. Mislim da se ne moze zakljuciti da jeste kontrakcija na osnovu prvog izvoda i Lagranzove teoreme. Kvantifikatori "postoji" i "svako" ne mogu da komutiraju. Ne tvrdim da nije kontrakcija. Cak 99.99% sam ubedjen da jeste. Dokaz nedostaje.

[Ovu poruku je menjao miki069 dana 15.10.2020. u 19:23 GMT+1]
[ Nedeljko @ 15.10.2020. 18:53 ] @
Nije kontrakcija ni na jednom domenu kome je 0 jedna od tačaka nagomilavanja.

Neka je , i definisano sa .

Neka je . Postoji takvo da je za sve . Neka su i različite tačke iz skupa i neka je . Tada za neko važi

.
[ miki069 @ 15.10.2020. 20:08 ] @
Postoje li konkretni a i b koji ovo potvrdjuju? Da nije kontrakcija.
[ Nedeljko @ 16.10.2020. 01:12 ] @
Naravno da postoje, ali oni zavise od .

Recimo, primenom prethodnog računa se može dobiti primer

, .
[ miki069 @ 16.10.2020. 06:36 ] @
Menjao sam q od 0.1 do 0.99 sa korakom 0.01.

Primer ne može da se napravi.

Uvek ispada da je f(b)-f(a) manji od b-a, što ide ka potvrdi kontrakcije.

Tabela u excelu je u prilogu.
[ Nedeljko @ 16.10.2020. 14:17 ] @
Definicija kontrakcije je da postoji neko takvo da za sve važi . Nije dovoljno da bude za sve međusobno različite i .

(a) Uslov za sve međusobno različite i

znači da je

za sve međusobno različite i .

Međutim, definicija kontrakcije znači da je

(b)

Pogledaj dobro definiciju kontrakcije. Recimo, funkcija

definisana sa

ima izvod koji je uvek po modulu manji od 1, tako da je uslov (a) ispunjen, ali nema fiksnu tačku, pri čemu je skup realnih brojeva kompletan.
[ miki069 @ 16.10.2020. 18:52 ] @
Pitanje je bilo za f(x)=arctg(x) da li je kontrakcija ili ne? Izlozen je dokaz da nije. Konkretan primer za to ne postoji. Po negaciji definicije kontrakcije bi za svako q trebao da postoje a i b tako da vazi f(b)-f(a) >= b-a. Ja ne znam da nadjem q ili on ne postoji? Ako se tvrdi da nije kontrakcija potrebno je dati konkretne a i b kao kontraprimer.

[Ovu poruku je menjao miki069 dana 16.10.2020. u 20:02 GMT+1]
[ Nedeljko @ 16.10.2020. 20:13 ] @
Ti jednostavno ne razumeš definiciju kontrakcije. Ne treba da važi , već .

Neka je na primer . Izaberi , .

,
.

.
[ miki069 @ 16.10.2020. 20:33 ] @
Razumem definiciju. Nisam razumeo negaciju definicije.
Sve je jasno. Hvala.
[ Nedeljko @ 16.10.2020. 21:27 ] @
Pa, ako je definicija

,

onda je negacija

,

odnosno

.
[ miki069 @ 17.10.2020. 10:33 ] @
U negaciji sam zaboravio to q kod (b-a). Sve je jasno. Hvala jos jednom.
[ miki069 @ 17.10.2020. 11:13 ] @
Pokusavam za f(x)=x+1/x na intervalu [1,+beskonacno). Ali mi ne ide dokaz da jeste niti da nije kontrakcija.
[ Nedeljko @ 17.10.2020. 13:10 ] @
Kada je funkcija definisana na intervalu i diferencijabilna, onda je potrebno i dovoljno da supremum modula izvoda bude manji od 1, što ovde nije slučaj. Za ma koje q<1 postoji interval na kome je moduo izvoda veći od q, pa izaberi par tačaka na tom intervalu.
[ miki069 @ 17.10.2020. 15:55 ] @
Biram da je a uvek 1, a onda b racunam kao 1+c, gde sam c dobio iz izvoda, to jest c=sqrt(1/(1-q))? Mozda gresim u racunu.
[ miki069 @ 19.10.2020. 09:39 ] @
Evo tabele u kojoj je q menjan od 0.001 do 0.999, sa korakom od 0.001, koja ide u prilog Nedeljkovom dokazu da arkustangens nije kontrakcija u okolini nule.



[Ovu poruku je menjao miki069 dana 19.10.2020. u 11:30 GMT+1]
[ Nedeljko @ 19.10.2020. 10:36 ] @
Ne treba da biraš 1, nego se za q bira manja vrednost od 1, a onda se pronalaze a, b tako da bude |f(b)-f(a)|/|b-a|>q.
[ miki069 @ 19.10.2020. 19:01 ] @
Znaci ne koristim c iz Lagranzove teoreme za lociranje a i b? Ne mogu nikako da navatam kako da nadjem a i b. Sa arctg je bilo lakse jer je a bio uvek nula. Ako moze jedan primer.
[ Sonec @ 19.10.2020. 19:10 ] @
Citat:
miki069:
Pokusavam za f(x)=x+1/x na intervalu [1,+beskonacno). Ali mi ne ide dokaz da jeste niti da nije kontrakcija.


Zdravo.

Kako je kompletan prostor u (nasledjenoj) euklidskoj metrici (kao zatvoren potprostor od ), to ako bi bila kontrakcija to bi onda postalo sa svojstvom . No ova poslednja jednacina ocito nema resenje u Dakle, ne moze biti kontrakcija.

[ Nedeljko @ 19.10.2020. 19:33 ] @
miki069

Prvi način:

1. Izabereš proizvoljno q<1.

2. Nađeš a i b takve da važi a<b i |f(x)|>q za sve x iz (a,b).

3. Prema Lagranževoj teoremi postoji c iz (a,b) takvo da je (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c).

4. Prema tački 3, broj c pripada intervalu (a,b).

5. Prema tačkama 2 i 4, važi |f'(c)|>q.

6. Prema tački 3, važi (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c).

7. Prema tački 6, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|=|f'(c)|.

8. Prema tačkama 5 i 7, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|>q.

9. Prema tački 8, važi |f(b)-f(a)|>q|b-a|.

10. Prema tački 9, f nije kontrakcija.


Drugi način (opštiji):

1. Izabereš proizvoljno q<1.

2. Nađeš a takvo da važi |f'(a)|>q.

3. Prema tački 2 i prema definiciji izvoda, postoji limes od (f(b)-f(a))/(b-a) kada b teži beskonačnosti i taj limes (koji obeležavamo sa f'(a)) je po apsolutnoj vrednosti veći od q.

4. Prema tački 3, postoji b različito od a, takvo da je (f(b)-f(a))/(b-a) po apsolutnoj vrednosti veće od q. Ta vrednost može biti manja od |f'(a)|, ali je i dalje veća od q. Zato mora biti |f'(a)|>q, da bi i nešto manje vrednosti od |f'(a)| takođe bile veće od q.

5. Prema tački 4, važi |f(b)-f(a)|/|b-a|>q.

6. Prema tački 5, važi |f(b)-f(a)|>q|b-a|.

7. Prema tački 6, f nije kontrakcija.
[ miki069 @ 19.10.2020. 20:05 ] @
Jasniji mi je prvi nacin. U tacki 2. pise |f(x)| > q. Mislim da treba da bude |f'(x)|>q.





[ Nedeljko @ 19.10.2020. 22:36 ] @
Da, treba.

Što se drugog načina tiče, neka je

.

Za ma koje postoji takvo da za svako važi . Tada zbog stavljajući zaključujemo da postoji takvo da je

,

a samim tim i

,
,
.

Dakle, pošto je , a može biti po želji blisko (na osnovu izbora i definicije limesa), a ako je tako, onda je i .

Ovde je naravno .
[ miki069 @ 20.10.2020. 06:23 ] @
Jasan mi je i drugi način, ali je prvi praktičniji za realizaciju u Excelu.

U prilogu je tabela koja demonstrira da f(x) = x+1/x nije kontrakcija na interalu [1, + beskonačno).
Rađeno je za q od 0.001 do 0.999 sa korakom 0.001.
[ miki069 @ 20.10.2020. 10:13 ] @
Funkcija f(x) = x+1/x bi na na interalu [1, 5] bila kontrakcija.

Najveća vrednost prvog izvoda na tom intervalu je 24/25 i onda bi to mogli da uzmemo za q.

Ali opet ne bi mogao da se primeni Banahov stav o fiksnoj tački jer ona interval [1, 5] ne slika u samog sebe, već u interval [2, 5.2].
[ miki069 @ 20.10.2020. 11:41 ] @
Nedeljko hvala puno. Uspeo sam konačno da rasčistim dileme oko kontrakcije i Banahovog stava.
Izgleda da se to na MATF u Beogradu radi dosta kvalitetno ili si ti to sve samostalno provalio?

Na PMF-u u Kragujevcu, institut za matematiku i informatiku (IMI), to se radi dosta površno, čak vlro često i na granici ispravnosti.

Profesorka iz predmeta Funkcionalna analiza (treća godina, smer matematika) na predavenju izlaže dokaz da f(x)=artctg(x) jeste kontrakcija sa R+ na R+.
Pogledati Primer broj 15 na 8-moj strani njenog predavanja, koje je dato u prilogu.

I da jeste kontrakcija (diskutabilno je samo da li je 0 tačka nagomilavanja od R+), način na koji to dokazuje je pogrešan.
Zamenila je redosled kvantifikatorima postoji i za svako.
[ Nedeljko @ 20.10.2020. 22:37 ] @
Pa, ne znam, kod nas je pokojni profesor Dragoljub Aranđelović radio te osnovne stavove oko limesa i nejednakosti, tako da ako je neki limes veći od q, onda je za neku vrednost promenljive iz graničnog procesa vrednost izraza pod limesom takođe veći od q.

U skripti je greška. Treba se obratiti autorki i reči joj da je tu greška i da zavisi od i .