Gimnastike radi evo za 1.1)

Za a,b,c,d element Z je
α = a+bi, ß = c+di
αß = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci - bd
αß = (ac - bd) + (ad + bc)i

Jer je N(α) = a² + b² i N(ß) = c² + d²

Dalje:
N(αß) = (ac - bd)² + (ad + bc)² = a²c² - 2abcd + b²d² + a²d² + 2abcd + b²c² = a²c² + b²d² + a²d² + b²c² = a²(c² + d²) + b²(d² + c²) =
= (a² + b²)(c² + d²)

Sledi N(αß) = N(α)N(ß)

Neka je , gde i nisu inverzibilni i neka je , gde je .

Tada je . Dakle, za važi , pa je .

Međutim, kvadrat celog broja može po modulu 4 biti kongruentan ili sa 0 (ako je paran) ili 1 ako je neparan, tako da zbir dva kvadrata ne može biti kongruentan sa 3 po modulu 4.

3. 1)
Na osnovu postavljenog uslova i po definiciji prostih brojeva α je različito od 0.

Pretpostavimo suprotno da je alfa rastavljiv u Z.
Neka je α = ß*δ takvi da ß nije elemet {-1,1,-i,i} i δ nije elemet {-1,1,-i,i}, tj. nemaju norme == 1.

Po uslovu zadatka N(α) je prost broj u skupu celih brojeva i vazi 1 < p = N(α) takav da je p deljiv samo sa 1 i p.

Na osnovu dokazanog 1.1) sledi
N(α) = N(ß) * N(δ)
p = N(ß) * N(δ)
pa mora biti {p = N(ß), N(δ) = 1} ili {1 = N(ß), N(δ) = p}.
Iz toga sledi da je δ element {-1,1,-i,i} ili je ß element {-1,1,-i,i} što je kontradikcija polaznoj (suprotnoj) pretpostavci.

Dakle: ako je N(α) prost u Z, tada je α nerastavljiv u Z.