Za (v) su nepotrebni (a) ili (b).
Rešava se direktno.

Voleo bih da vidim, kreni redom.

Osobine racionalnih nula polinoma.

Za v1 do v6 ( bez v3) kandidatu su samo 1 ili -1.
Pošto oni nisu nule polinoma, onda on nema racionalne nule.

Za v3 kandidati su 1, -1, 2, -2, 4 i -4.
Zaključak je isti.

Malo si pomešao rastavljivost i egzistenciju nula. Polinom ne mora imati nule u polju da bi bio rastavljiv u .

Na primer: je očigledno rastavljiv na , ali nema nule u .

Ti si za navedene pokazao da nemaju linearne faktore, ali ne i nerastavljivost.

Preciznije, to kako si zamislio može za polinome stepena 2 ili 3. Za polinome stepena većeg od 3, ne mora da važi.

Razumem šta sam pomešao.

Pod (a) mi nije jasno šta su elementi
skupa Fp[X] ?
Polinomi čiji su koeficijenti prosti brojevi ili polinomi stepena p čiji su koeficijenti celi brojevi? Ili nešto treće.

Prsten polinoma na .

(v2) Neka je , . Posmatrajmo redukciju datog polinoma po modulu . Imamo da je . Očigledno, polinom nema nule u , , odnosno nema linearne faktore. Možemo da pokušamo da ga rastavimo na proizvod dva polinoma stepena i . Jedini monični nerastavljivi polinom stepena u je , a monični nerastavljivi stepena su: i . Sada množimo, postoje dve mogućnosti:


Očigledno, nije rastavljiv u , pa zaključujemo po (a) da ni nije rastavljiv u .

Za p=7 taj skup čine polinomi sa koeficijentima iz Z7?
Brojevi od 0 do 6.




_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 19.09.2026. u 16:25 GMT+1]}

Da.

(v4) Neka je , . Posmatrajmo redukciju datog polinoma po modulu . Imamo da je . Ako posmatramo primer (v2), uočavamo da se polinom rastavlja kao proizvod dva nerastavljiva polinoma stepena i :

Posmatrajmo sada redukciju datog polinoma po modulu . Imamo da je . Imamo da važi . Pošto je možemo pisati:

Posle množenja i izjednačavanja koeficijenata dobijamo sistem, čijim rešavanjem dolazimo do . Dobijamo da je , odnosno:

Ostaje nam samo da proverimo da li je rastavljiv u .
Imamo da važi: . Pošto nema nule u , onda nema ni linearne faktore u . Ostaje jedino mogućnost da se rastavlja kao proizvod dva nerastavljiva polinoma stepena . Možemo pisati:

Međutim, posle množenja i izjednačavanja koeficijenata dobijamo sistem koji nema rešenja. Dakle, je nerastavljiv u .
Ovo poslednje smo mogli i drugačije. Jedini monični nerastavljivi u stepena su: . Međutim:





.
Ni jedan od ovih proizvoda ne daje .
Pošto smo redukciju , u rastavili na proizvod dva nerastavljiva polinoma stepena i , a u na proizvod dva nerastavljiva polinoma stepena i i pošto je , zaključujemo po (b) da je nerastavljiv u .

Mala pomoć: koristiti (a) i u (v1), (a) i u (v3), (b) i u (v5), (b) i u (v6).