Pod (a) x je algebarski.
Posle kvadriranja, povezivanjem x^2 sa x i ponovnim kvadriranjem dobijamo da je x jedno od rešenja jednačine:

x^4 - 4*x^3 - 4*x^2 + 16*x - 8 = 0.

Mislim i da su u sledeća dva zadatka algebaski.
Poslednja tri su nealgebarski.


Pre podele na Algebarske i ne, potrebno je prvo dokazati da je dati broj iracionalan.

Da li je navedeni polinom minimalni za datu konstantu? Koji je stepen raširenja?

Da dopunim zadatak, za algebarske odredi minimalni polinom i stepen raširenja.

_{[Ovu poruku je menjao Brazorf Ajeje dana 26.09.2026. u 22:53 GMT+1]}

Teorema. Ako je raširenje polja, tada svi elementi u koji su algebarski na formiraju polje.

(a) Prvi način. Neka je . Imamo da je , odnosno posle kvadriranja . Sada sređivanjem dobijamo . Posle kvadriranja, dobijamo: , odnosno . Da li je minimalni polinom za , da li je algebarski stepena na , odnosno ? Zaista, jasno je da je nula ovog polinoma, jer je konstruisan tako da je . Takođe, on je i nerastavljiv na što se dokazuje posle ne tako malo računa, pa je odgovor na prethodna pitanja potvrdan.
Drugi način. Pošto su i algebarski na , kao rešenja jednačina i , to je i algebarski na .

(b) Prvi način. Neka je . Neka je , tada imamo da važi:








.
Posmatrajmo polinom . Lako se uočava po Ejzenštajnovom kriterijumu da je ovaj polinom nerastavljiv na . Pošto je moničan i nerastavljiv, on je i minimalni polinom za . Imamo da je algebarski na stepena , a da je njegov minimalni polinom , odnosno da je stepen generisanog raširenja .
Drugi način. Pošto su i algebarski na , kao rešenja jednačina i , to je i algebarski na .

(g) Neka je algebarski na , tada je i takođe algebarski. Po teoremi, tada je i takođe algebarski, što je kontradikcija. Ovde se pozivamo na činjenicu da je transcendentan.

(đ) Neka je algebarski. Očigledno je , odnosno takođe algebarski, što je naravno kontradikcija.