ošli matematičari spavat...

ode i ja

da sanjam kako me progone zle derivacije

šmrc...

do sutra

U ovakvim slučajevima uglavnom postoje dve metode:
- direktno; pretpostavimo da je x1>x2 pa pokušavamo da odredimo znak izraza f(x1)-f(x2) (kao priraštaj funkcije)
- početni izraz na podesan način transformišemo tako da se lako zaključuje monotonost, pri čemu je moguće kombinovati ove metode.

Probao sam i levo i desno, ali nisam ništa bolje smislio od ovog:


Razlika petih stepena može da se rastavi, nije baš ubavo...
Posle malo sređivanja, trebalo bi da se dobije


Prva zagrada je pozitivan izraz. Treba nekako da odredimo znak izraza u drugoj zagradi. E sad ide nešto što sam u trenutku smislio i nisam proveravao niti imam neko formalno uporište.

Pošto je nama potreban zaključak tipa "za izraz u drugoj zagradi je + ili -", izgleda mi dozvoljeno da stavimo , posebno što je simetričan u odnosu na indekse.

Dakle, ako tako uradimo, dobićemo:
odakle lako da je minimum u

Inače, ako napišemo

lako se dokazuje da funkcija raste za pa minimum ne može biti preko tog šestog korena iz a.

E Darko baš si prećero.
Pa ovo je zadatak za prvi srednje.Samo najprostija numerika i to ona iz glave.

Dakle napraviti grubu skicu za oba dijela funkcije kao i neki grubi zbir pa onda kao
pokušati pogoditi.Pa onda ako pogodak nije uspješan,povćati x (ili smanjiti).
Malo analizirati ono a i eto ti petice.

Darko,hvala na trudu ali i ja mislim da je ovo malo prekomplicirano...

možda neka druga ideja?

zzzzz a da to malo i interpretiraš i napišeš nešto konkretno,a ne da samo

zzzzzujiš?;)))

Pa dovoljno je već što u prvom srednje traže minimum funkcije, a do tad se radi samo linearna funkcija. Rade se polinomi i rastavljanje na činioce, Bezuov stav itd.

Dakle trebalo bi da ovo što sam napisao ne prelazi granice tog znanja. Ne uzimajte u obzir ona moja usputna naklapanja.

kad malo bolje razmislim,nije ovo ni tako loše riješenje...

još samo nekužim kako si "ugurao" ono a/x1*x2 u onaj rastav razlike petih potencija...

Darko,još jednom hvala,a ako neko drugi ima ideju,neka kaže ;)))

Pozdrav svima

Hajde da se sada ja malo umešam. Ako je neko zaista razumeo neki matematički aparat, onda zna i da ga eliminiše iz svakog dokaza. Iz svakog dokaza koji se bazira na diferencijalnom i integralnom računu možete eliminisati sve izvode integrale i limese i dobiti dokaz koji koristi samo osnovne računske radnje i elementarne nejednakosti. No, takav dokaz će biti duži.

Neka je Tada je

No, kako je biće

No, ako je onda je kao i

No, to tačno znači da ako je manje od kao i od da onda znak od zavisi samo od znaka od No, da bi bilo nenegativno i za pozitivne i za negativne vrednosti koje ispunjavaju taj uslov, mora biti

Ja sam ovde pošao od rešenja zasnovanog na diferencijalnom računu, i onda ga formalno sveo na četiri računske radnje.

To je deo koji ostaje od
tj. nema veze sa rastavljanjem petih stepena.

Inače, to moje rešenje je kao da smo računali izvod:
posle skraćivanja , stavljanjem postupamo kao da tražimo .

Razmislio sam malo i o toj manipulaciji (bez obzira što daje dobar rezultat, ne znači da je sve u redu).
Iz ne možemo, naravno, da zaključimo (dok obrnuto očigledno važi) ali ako znamo da je skup A interval, tj da sadrži sve elemente između inf A i sup A, onda je dovoljno odrediti te granice. A one su iste kao da tražimo samo po "dijagonali" x=y. (valjda :)

Kakva je to županijska škola?Kamo će toliki župani kad svrše.I još im
u prvom razredu uvale da vježbaju minimalce umjesto neke maksimume
i ostalo što valja.(Ovo je šala,a sad ću probati ozbiljno).
--------------------------------------------------------------
Problem sa ovim i sličnim zadacima je što se ne vidi u koju klasu
spadaju.Obično u knjigama ide neka teorija pa neki primjer,a onda
se nareda gomila zadataka za vježbanje.U uvodu se navede toga
štošta,a onda se smatra da se sve to podrazumjeva i za skup zadataka
koji slijede.(Kao objektno orjentisano programiranje).

Ja ću pokušati pogoditi klasu gdje ovaj zadatak upada (9 ili 10-ti razred?)
Recimo ovako:"Treniranje procjene toka zajebanih funkcija"

Kako bih rješavao da sam u tim godinama:Vucao bih onaj "a" do krajnjih
granica i pratio šta se dešava sa ostalim stvarima.(Naročito minimumom!)

Uzmem da je a=ogroman broj,gugel(G).Pa za tu vrijednost polako uvrštavam
x=1,zatim 10;100 itd.Računam y i vidim da pada,ali odjednom počne i rasti.
Pribilježim tu grubu numeriku.Odaberem sada manju vrijednost za a.Iz straha
od nule ajmo najprije na 1.Opet malo računam sa x (oko jedinice i tu negdje)
Na kraju uzmem da je a="mali gugle" tj 1/G pa opet malo mrdam x.

Iz svega ovog može se izvući kako ovisi položaj minimuma (x(m))
od "a" kao i vrijednost minimalne funkcije i još neki omjeri.Kvalitativno
svakako.Onda se to lijepo napiše matematičkim jezikom sa puno čudnih
znakova i poneka riječ kao što je "monotono"itd.To se tako piše da bi i
Japanci mogli razumjet.Samo nažalost ja sam za mat.jezik vo Pirot.

Nisam siguran jeli pogođena klasa pa zato ovo ostalo pišem više kao
šalu.

e moj zzzz...
nije to županijska škola već županijsko NATJECANJE!!! iz matematike.
prvi stupanj je općinsko ,zatim županijsko i onda državno.

ovaj zadatak je bio postavljen na županijskom NATJECANJU 2004 godine(ove godine) i koštao me je plasmana na državno.Nosi 25 bodova kao i ostala tri zadatka
(ukupno 100 bodova,70 treba za državno)Zadatak je to za prvi razred srednje škole(čitaj gimnazije)koji se neradi na nastavi,tako da je "klasu" zadatka jako teško odrediti.

i usput metodom "uzaludnog pokušaja" koju si mi ti prezentirao sam i ja "riješio" zadatak i osvojio NULA bodova.

P.S nedjeljko,hvala na riješenju,ali...

P.P.S darko,čini mi se da mi je sad jasno,nebi te više gnjavio

E sad je jasno.Dakle za natprosječne,a opet,koristiti alat tog nivoa.
A alat je:"jednako ili približno";"mnogo manje od";"zanemarivo malo"
(čini mi se da da se to uči u tim godinama.)

1)Zaključiš da su u minimumu funkcije vrijednosti f(x) i f(x+h) ,za h
mnogo manje od x, jednake ili približne.
2)Izračunaš ono f(x+h), s desne strane (jednako približno je između).
3)Pokratiš sve što se da i još sve podijeliš sa h.
4)Primjeniš sad ono "zanemarivo malo" i ostaje ti :5x na 4 jednako je
ili približno jednako a/x na kvadrat.
-Dalje je lako.

uz jednakost samo kada su svi članovi jednaki, tj.

e nedeljko, svaka čast(što bi se ono reklo "svaka ti dala".........)

nisu li te AG nejednakosti divne?

moraću se početi njima bavit

vjerujem da je to i službeno riješenje

imam ja još zadataka s tih natjecanja:)))))))))))))))))

(..........."vode iz kanala");))))))))))))))))))))))))))

Hm, a zašto ne

ili

itd.?

Sad sam i sam video: jedino tako se eliminiše x na desnoj strani, tj. postaje konstantna, pa nejednakost važi za sve x. Dobra fora!

Ne vjerujem da je ovo službeno rješenje.Mogao si onda
napisati ovako:"Pošto znamo da je minimum funkcije
[(x na n)+a/x] upravo za vrijednost: x=(n+prvi)korijen iz a/n
onda uvrstim n=5 i to je onda x=šesti korijen iz a/5.Uvrstim
ovo i dobijem vrijednost minimuma.
---Nema tu bodova.Samo bi uvrijedio članove komisije.

Pođi od x+1/x.Znaš za to naći gdje je (i zašto) minimum.
Onda probaj za x+a/x.Možda ste radili i to?Dobiješ da je
minimum za x=korijen iz a.Jel tako?Možda to imaš u tekici
ili knjizi.

E sad su oni na županijskom malo dodali ono x na 5.Očekuju
da radiš po istoj logici kao i ovo gore.A ti upro ko ždrijebe
pred rudu.

Ono što sam napisao u prošlom javljanju je samo gruba uputa.treba
tu malo diskusije na početku.Izjednačiti brzine prirasta i
opadanja monotonih funkcija.I još ponešto.

i još jednu kriglu hladnog piva :))))))))))))

Ma čekaj bre, zzzz, što si ga sad zakomplikovao. Nedeljkovo rešenje koristi samo nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, a ta nejednakost je opšte poznata i njena primena se prihvata bez dokaza, pa je takvo rešenje u potpunosti korektno. I ja verujem da je to zvanična varijanta.

pa eto onaj ko želi nastavit ovu temu može probat riješit poopćeni zadatak:

minimum funkcije x^n+a/x (za x,a,n>0)

(jel može ona fora sa AG nejednakosti?;;;)))

p

Sve je isto.



uz jednakost samo kada su svi članovi jednaki, to jest

Kako li si ovo gore prokužio?

Vidim svi priznaju pa hajde da i ja priznam ovo Nedeljkovo rješenje.Mogao sam se i
ja sjetiti da je aritmetička sredina jednaka geometrijskoj,ako svi članovi imaju istu
vrijednost,ali nisam htio.
Pih,i ovo mi je neki težak zadatak.Prosto ko boza.

Prokleto ovo Odoh ja na pivo.

ljepota matematičkih zadataka su domišljata i elegantna rješenja,a ti ako imaš kakvu pametnu,sljedeći put reci,jer ovako bi čovjek reko da nemaš pooooojma;)))

može i men krigla ladne pive?ako ju moš kako mejlom dobavit,jer ipak si ti zzzz...:)))

hehehehe

Može.Imam neke prijatelje u Brodu pa je to lako realizovati.Samo, rano ti je za
pivo.Ima za to vremena.Bolje pij sutlijaš i treniraj matematiku.
Kako bi ti onda ovdje našao minimum?Mogu i ostali pomagati (osim Nedeljka).
m i n prirodni brojevi,x;a i b >0.

Oduzmi c, pa podeli sa a i dobićeš funkciju koja dostiže minimum u istoj tački.

evo mene s novim username,to je onaj mtvrdoje.publiczg;))



mmmmolimmm?sutiljaš?s ti puko?(s dužnim poštovanjem)matematiku da treniram?pa,čuj s takvim prozirnim zadacima neću daleko dogurat.eto usprkos "zabrani " nedeljko je riješio zadatak,a i bolje jer ja ne riješavam takve sitniše;))))))šala mala:)

eto zzzz bolje da završimo raspravu,osim ako nemaš još koji zadatak u rukavu.rado ću ga probat riješit(bez šale,ozbiljno ti kažem)

zapravo,čemu završit ovu "plodnu raspravu"?evo vam još zadataka s natjecanja:

1.ako je





odredite

2.dali je moguće rasporediti znamenke 0,1,...,9 u krug tako da suma svaka tri uzastopna broja bude najviše:
a)13,
b)14,
c)15?

3.Tri kružnice s nepoznatim središtima, u parovima se dodiruju u točkama A,B i C.koristeći jedno ravnalo konstruirajte središta tih kružnica

4.visina CD na hipotenuzu AB pravokutnog trokuta ABC je promjer kružmice k koja siječe katete AC i BC tog trokuta redom u točkama E i F.ako je G sjecište pravaca CD i EF i ako vrijedi CG^2=CE*CF
koliki su šiljasti kutovi trokuta ABC?

eto tako.

inače,volio bih ako ne ova tema,a ono neka druga,da bude posvećena samo riješavanju zadataka s natjecanja(bilo kakvih)iz matematike,fizike i informatike.nebi bilo loše ni da se jedan cijeli forum posveti tome.znam da postoje forumi matematika,fizika itd.ali nema tu puno konkretnih zadataka.iako se uvijek može postavit nova tema za neki zadatak,mislim da bi ovako to sve bilo malo organiziranije...
ovo su samo prijedlozi,nadam se da me moderatori neće "iscjepkat"ako ovo vide...

pozdrav svim es-ovcima

Interesantni zadaci koji se rešavaju na maštovit način i prikazuju neku lepu ideju uvek su dobrodošli i možeš ih napisati bilo u ovoj temi bilo da otvoriš novu temu za nov zadatak. Ipak, ne zaslužuju poseban forum, čemu bi onda služio forum "Matematika".

je,'maš pravo...

ajmo onda na zadatke(malo četvrtog razreda,kratki ali slatki;)

1.Tri tangente parabole određuju trokut.Dokažite da opisana kružnica tog trokuta prolazi kroz fokus parabole.

2.u kojem brojevnom sustavu 297 dijeli 792?

3.na koji način treba staviti dva predmeta u dvije različite ladice okruglog stola s n (n>= 5)ladica,tako da vjerovatnost nalaženja barem jednog predmeta otvaranjem dviju susjednih ladica bude najmanja?

i malo trećeg razreda...

1.u pravilnoj trostranoj piramidi kut nagiba bočnog brida prema ravnini baze jednak je plošnom kutu uz vrh piramide.oredite volumen piramide ako je duljina brida baze jednaka a

2.odredite sve 200-znamenkaste prirodne brojeve koji su kvadrati prirodnih brojeva a počinju s 99 devetki

3.koristeći se pogodnom supstitucijom odredite broj korjena jednadžbe



koji se nalaze unutar segmenta

Evo rješeeenjaaa,evo rješeeenjaaa!
To je logično.
Ako je Mijo uzeo tri konstante x;y,z pa izračunao one a,b,c, e onda može i ono d.
Ali pošto mi ne znamo te x,y,z onda zaključimo da su a,b,c,d u nekoj zavisnosti
jer imamo 4 jednačine a tri nepoznate.Pa da vidimo šta eliminisati.
a)-asocira na Ajduka.(gospe ti,san je sebe eliminira,neću još i ja.)
b)-Borac.Ni govora!
c)-CZ.E to će biti eliminirano od PSV.
d)-To sam uveo pa neka ga još.(nije zbog Dinama).

Ovo je iz opšte poznatih supstitucija.Kvadrat prve,prva x druga i prva x treća.
Ali pošto Mijo samo zadaje zadaje,a ništa ne rješava,evo neka riješi samo
pola ovog zadatka.

Uzmi samo prve dvije jednačine.Neka su x,y,z varijable.Za dati "a" treba naći
"b",tako da ovaj sistem jednačina ima jedinstveno rješenje.Dvije jednačine
x+y+z=a i x^2+y^2+z^2=b^2 , a samo jedno x,y,z zadovoljava.

samo zadajem?

e pa dobro

evo ti rješenje,PRAVO,rješenje gornjeg zadatka,kakav d i ostale gluposti

ovo ti je 100% moje rješenje a ako nevjeruješ...

dakle,kvadriramo prvu jednakost i odmah nalazimo identitet
(*)
iz treće jednakosti imamo(ako negativne potencije napišemo u obliku razlomaka pa ih onda svedemo na zajednički nazivnik)

te zbog (*) imamo
i onda
(*1)
(*2)
(*3)

ako sada u (*) uvrstimo prvo (*1)pa onda (*2)i konačno(*3) te malo sredimo uz pomoć prve jednakosti imamo
(**1)
(**2)
(**3)

konačno,zbrajanjem (**1)+(**2)+(**3) ,uz malo izlučivanja te imajući na umu prvu i drugu jednakost dobivamo


eto ako je tko sumnjičav,nek uzme poznate vrijednosti za x,y i z pa nek računa...
ovo je moje a ne službeno rješenje,no ja sam ga provjerio tako da mislim da valja

p.s sa svim onim forama oko izlučivanja,zbrajanja itd.rješeje je dugačko dvije stranice A4 pa nisam htjeo
sve pisat ali ako neki korak nekom nije jasan slobodno nek kaže.

p.p.s ajd ako neko ima vremena nek možda riješi neki od zadataka ili čak i zada tako da mogu vidjet u kakvoj sam formi(nedeljko,darko, or sombody else(zzzz?;)))

pozdrav

Evo ja nemam pametnija posla, samo napiši šta bi najviše voleo, mrzi me da krećem ispočetka od onoga što si postovao.

pa evo trenutačno me zanimaju ovi:

2.dali je moguće rasporediti znamenke 0,1,...,9 u krug tako da suma svaka tri uzastopna broja bude najviše:
a)13,
b)14,
c)15?

3.Tri kružnice s nepoznatim središtima, u parovima se dodiruju u točkama A,B i C.koristeći jedno ravnalo konstruirajte središta tih kružnica

4.visina CD na hipotenuzu AB pravokutnog trokuta ABC je promjer kružmice k koja siječe katete AC i BC tog trokuta redom u točkama E i F.ako je G sjecište pravaca CD i EF i ako vrijedi CG^2=CE*CF
koliki su šiljasti kutovi trokuta ABC?

.
.
.

2.u kojem brojevnom sustavu 297 dijeli 792?

3.na koji način treba staviti dva predmeta u dvije različite ladice okruglog stola s n (n>= 5)ladica,tako da vjerovatnost nalaženja barem jednog predmeta otvaranjem dviju susjednih ladica bude najmanja?

eto ako nemaš pametnija posla,a i neko drugi isto...navalte!

Mislim da ti je za zadatak iz teorije brojeva sa prvih 99 devetki potrebna samo cinjenica da pri deljenju kvadrata prirodnog broja sa 4 ostatak ne moze biti 2 ni 3,zatim da se potpun kvadrat ne moze zavrsavati sa 11,55,66,99, a ni sa cetiri iste cifre tj. ni sa 4444,tj. potrebno je razmatrati zadnje cifre.

hmhmhm...mislim da to ipak nije dovoljno.jest da je potrebno razmatrati zadnje cifre ali njih je 101 jedna...

za bojana su izgleda zadatci bili preteški ;)))))))))))))))))
ili je u međuvremenu našao pametniji poso;)))))))))))

pozdrav

Pa nisam rekao da ćeš odmah dobiti rešenja, to ja pitam čisto onako da vidim šta te interesuje pa tek onda ako slučajno i mene nešto zainteresuje treba da dođe do uzimanja papira i olovke, i još ako i to uzmem treba još samo da ti iskucam ovde rešenje, nije to sve baš tako mali posao :) A i stvarno su teški zadaci, moram da radim jedan mesečno, brže ne mogu :)

Evo jednog lepog:

Postavimo kordinate na sledeći način:



Sledi:


E sad treba primetiti da se tačka D nalazi i na pravoj i na pravoj , pa se njene koordinate mogu pronaći kao rešenja ovog sistema od dve jednačine sa dve nepoznate po parametru . Nakon rešavanja dobijamo:

Pošto je duž prečnik kružnice, njen centar (tačka ) se nalazi na sredini (logično, zar ne? :)). Znači, imamo koordinate još jedne tačke:

E sada tražimo koordinate tačke :

Primetimo da i i leže na pomenutoj kružnici, pa je rastojanje od do jednako rastojanju od do . Znači, računica izgleda ovako:

To znači:

Slično računamo koordinate tačke :

Primetimo da i i leže na pomenutoj kružnici, pa je rastojanje od do jednako rastojanju od do . Znači, računica izgleda ovako:

To znači:

E sada možemo izračunati čak i jednačinu prave :

Pošto imamo jednačine pravih i i , a znamo da tačka pripada istovremeno i jednoj i drugoj pravoj (gle čuda :)), onda možemo rešavajući sistem od te dve jednačine sa dve nepoznate dobiti koordinate tačke :
(pravićemo se da se ne poklapa sa tačkom S :))
Kada smo sve to lepo sračunali (blago nama), ubacimo uz sve to uslov iz zadatka:

Sada imamo stranice trougla, što nam na osnovu trigonometrijskih funkcija omogućava da izračunavo uglove. Veoma elegantno rešenje, nema šta.

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 15.08.2004. u 23:51 GMT]

Bar nešto da otkačim.

Ovaj zadnji:Staviti u susjedne ladice da bi bilo p=3/n.Inače bi bilo p=4/n.
Ovaj predzadnji:Vidi se da je omjer brojeva 3.Prevedemo u dekadski sistem
3*2*n^2+3*9*n+3*7=7*n^2+9*n+2.
Ispade kvadratna jednačina n^2-18n-19=0.Rješenje je n=19,ili u dekadskom
br.sistemu to su 900 i 2700.
Onaj 1 do 9:Ne!Zato što imamo 9 suma tri broja.Suma od 1 do 9 je 45.Svaki
broj je 3 puta uzet.3*45/9=15.Morali bi napraviti devet suma po 15 a to ne ide.
Ima samo 8 kombinacija koje daju sumu 15.(9+5+1;...do 6+5+4).
Sa "suma najviše 16" ide.

Ovo nije dobro, imaš 10 brojeva (i 0 se računa). Odgovor je ne, ne, da.

OK. Bojane.Previdio sam nulu.
Da pitamo Nedeljka smije li se ravnalom prenositi duž?
To je onaj zadatak sa tri kružnice koje se dodiruju.

U svim matematičkim zadacima gde se traži konstrukcija podrazumeva se da je dozvoljeno koristiti samo lenjir i šestar, i to lenjir isključivo za povlačenje pravih linija spajanjem dve (ili više) tačaka, a šestar za opisivanje kružnice određenog poluprečnika iz određenog centra. Pojedini zadaci menjaju ove uslove na određeni način. Ovde nije dozvoljena upotreba šestara, ali nigde ne piše šta se sme raditi lenjirom, što znači da se koristi podrazumevani smisao (isključivo spajanje dve ili više tačaka). Ako to nije tačno onda neka se javi postavljač i koriguje postavku. Takođe, nije mi jasno da li su date kružnice ili samo dodirne tačke?

1.(verovatnoća) naravno podrazumevamo da se radi o Pascal-ovoj definiciji verovatnoće. Posle kraće analize vidimo:
a) ako su predmeti u susednim ladicama imamo 3 povoljna ishoda u odnosu na n mogućih
b) ako predmeti nisu u susednim ladicama imamo 4 povoljna ishoda u odnosu na n mogućih
Dakle predmete treba postaviti u nesusednim ladicama, i tada je verovatnoća nalaženja bar jednog predmeta jednaka 3/n.

2.(brojevni sistem) neka je baza brojevnog sistema n. Zadatak se svodi na to da rešimo jednačinu 2+9*n+7*n^2=m*(7+9*n+2*n^2) ; m,n prirodni brojevi ; n=>10. Posle kraćeg "muljanja" jednačine dobijamo jednačinu (2*m-7)*(2*n-7)=-53. Sada, koristeći činjenicu da je 53 prost broj, dolazimo do rešenja n=30 m=3.

3.(brojevi) pretpostavimo da je 0,a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3 raspored brojeva pri kojem zbir nijedne trojke susednih brojeva ne prelazi 14 tada:
45=1+...+9=a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3<=14+14+14=42
ovo je očigledna kontradikcija, dakle slučaj b) je nemoguć, a samim tim i slučaj a). Što se tiče slučaja c) imamo rešenje 0,6,7,2,4,8,3,1,5,9 (postoji više esencijalno različitih rešenja).

4.(devetke) zadatak se svodi na to da nadjemo celobrojna pozitivna rešenja nejednačine (po k):
10^200-10^101<=k^2<=10^200-1
i da ih zatim kvadriramo. Desna nejednakost je ekvivalentna sa k<10^100 dok je leva ekvivalentna sa (10^100-5)^2-25<=k^2, što je opet ekvivalentno sa (10^100-5-k)(10^100-5+k)<=25. Ako malo bolje pogledamo ovu zadnju nejednakost vidimo da je ekvivalentna sa 10^100-5<=k. Dakle rešenja su: (10^100-5)^2,...,(10^100-1)^2.

Ja se izvinjavam sto kvarim zabavu, ali jel moze jedan dogovor, molba, zapovest, zelja.

Da u jednoj temi bude jedan zadatak :). Znam da bi moderator morao bas da se puno namuci, ali to mu je i posao. A definitno bi se olaksalo pracenje a i bogami razumvanje :).

Ja radije ne bih nikoga da teram kako da postavlja zadatke, ako autor želi da ih sve postavi u ovu temu jer mu je tako lakše/preglednije/lepše, a pogotovo ako se radi o zadacima koji su po nečemu slični (npr. svi zadaci ovde su sa određenog takmičenja). Ako smatra da neki zadatak zaslužuje posebnu temu zbog neke određene stvari naravno može da otvori novu temu i tamo ga postavi.

1.(pravougli trougao) ugao <CFD je prav zato jer je periferni ugao kružnice k nad njenim prečnikom CD. Takođe periferni ugao <ECF kružnice k, nad njenom tetivom EF je prav, pa je tetiva EF u stvari prečnik kružnice k. Lako je sada zaključiti da je CFDE u stvari pravougaonik, odavde pak sledi da je G centar kružnice k. Dalje, primetimo da je <CAB=<CFE. Neka je x tangens ugla <CFE tada x=CE/CF. Međutim imamo 4CG^2=CE^2+CF^2 i CG^2=CE*CF odavde izvodimo da mora važiti x^2-4x+1=0. Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo rešenja za x odakle lako dobijamo da su uglovi 15° i 75°.

2.(tri kružnice, konstrukcija) neka se kružnice k,l,m sa centrima K,L,M redom dodiruju u tačkama A,B,C (l,m u A; k,m u B; k,l u C). Primetimo samo da A,B,C leže na stranicama ML,KL,KM trougla KLM redom.
Označimo sa D drugu presečnu tačku prave BC i kružnice l. Tada, važi 2<ADC=<AMC (periferni i centralni ugao nad tetivom kružnice). Malo aritmetike sa uglovima daje nam da važi <ABD+<ADB=90°, znači <DAB je prav pa je takav i <DAE (gde je E druga presečna tačka prave AB i kružnice l). Sada znamo da je DE prečnik kružnice l.
Neka je F druga presečna tačka prave AB i kružnice k, G druga presečna tačka prave AC i kružnice k. Kao i malopre zaključujemo da je FG prečnik kružnice k pa je <GCF prav, dakle i <HCA je prav (H je druga presečna tačka prave CF i kružnice l). Međutim sada je HA prečnik kružnice l. Sada imamo dva prečnika kružnice l, to su DE i HA. Jasno je da M leži na preseku pravih DE i HA.
Konstrukcija centara datih kružnica samo pomoću lenjira se sada lako izvodi.

Ali pogledaj naslov teme... Ima li on veze sa razvojem situacije na terenu? Definitivno druga tema... Ili ako su zaista svi sa nekog takmičenja, staviti naslov "zadaci sa takmičenja tog i tog".

Evo, predlog usvojen :)

evo bio sam malo odsutan(bliži se kraj ljeta i to)ali vidim da ste se vi potrudili

ovom prilikom želim još jednom zahvaliti svima koji riješavaju ove zadatke jer mi je to bitno

a evo sada da pojedinačno odgovorim

Bojan:
ono da su zadaci bili preteški bila je svakako šala,i ja ću biti zadovoljan da riješiš bilo kakav zadatak(jesi rješio još koji?;)) ).
volio bih kad bi ti (ili bilo ko drugi)meni zadali zadatak,a domena prvi ili eventualno drugi razred.
i eto dobro da si usvojio darkovu ideju o promjeni imena teme;)
btw,meni se čini da si i ti bio ili si još natjecatelj u zadatcima iz matematike.jel to istina ili griješim?

zzzz:
eto ispostavilo se da nešto i valja od tvojih rješenja...
ma rasturaš,majstore

chupcko:
mislim da bi bilo previše za svaki zadatak otvarati novu temu,kao što je i bojan reko, a ako se nemoš snać ja ću još jednom poslat te,a i nove zadatke;)))

hellbound:
hvala na trudu i odvojenom vremenu,čini mi se da su sva rješenja točna.onaj s kružnicama je odlično rješen,ali mi je čudno što su takav(za prvi razred ipak malo teži zadatak)stavili na najnižoj razini natjecanja.jedino ne kontam ono s vjerovatnošću(i nije mi toliko bitan,ali me zanima),zzzz je rekao obratno( :))) )

a što se tiče rješenja s pravokutnim trokutom,mislim da su točna i tvoje i bojanovo ali nešto zaboravljate,stoga bih nešto rekao o zadacima s natjecanja.

kod tih zadataka komisija ocjenjuje više parametara a na samo rješenje.dva najbitnija su:
rješenje(:))))) )
ali još bitniji POSTUPAK
dakle,ako on ne valja nema šanse da će rješenje dobit i pola bodova a kamoli max bodova(25 bodova je uobičajeno max na hrvatskim natjecanjima ne znam kako drugdje).ako postupak pak valja onda to ide ovako:
rješenje oped ne dobiva max bodova ako je u postupku korišteno matematička teorija iz VIŠEG razreda(dobiva recimo 70-80%)mada ni to nije loše :)),rješenje se ne tretira kao 100%točno.
stoga je za 100%bodova zadatak potrebno riješiti sa znanjem razreda u kojem je zadatak postavljen.
prije sam bio protiv toga,ali kad bolje razmislim logično je:
matematika je ponajprije nauka koja zahtjeva pravilno zaključivanje i razmišljanje na temelju poznatih činjenica(ili recimo na natjecanju DOPUŠTENIH činjenica),što znači da u njoj nema mjesta "štreberima" koji perfektno znaju teoriju a to znanje nezanju primjenit(na natjecanju su to oni koji nauče "napamet" teorju viših razreda pa neki zadatak riješe lako s tom teorijom).to je dakle snalaženje u situaciji s OGRANIČENIM sredstvima.

ajmo onda da se dogovorimo.
onaj ko želi postavit zadatak nek obavezno napiše za koji je razred a ako ne nek to ostavi otvoreno
onaj ko rješava zadatak nek proba isti rješit teorijom naznačenog zadatka,a ako ne,onda može bilo kako( ;))))))) )
također je poželjno da se isti zadatak riješi na više načina,jer svako novo rješenje je dokaz da "nikad nije gotovo"

nadam se da vas ova "pravila" neće otjerat od rješavanja zadataka,a budući da tema sad ima prikladan naziv i drugi koji se pripremaju za natjecanja mogu se pridružit:)))

konkretno za zadatak s pravokutnim trokutom to znači da morate zaboravit na kvadratne jednadžbe i trigonometrijske funkcije(mada apsurd ja to znam,a u prvom razredu je to znanje potrebno za FIZIKU!!?!!).čak mi se nešto vrzma po glavi da zadatak nema rješenja(i to je moguće)ali ipak...još ću provjerit.

p.s vjerovatno vas zanima zašto sam ovako navalio,kad mogu pričekad početak škole i konzultirat se s profesorom.e pa to je zato što:
u osnovnoj sam imao dobrog profesora i uz njegovu pomoć sam ostvarivao dobre rezultate.no u srednjoj sam dobio profesora koji je izgubio nadu u "nadarene" učenike pa se on sada samo nasmije kad ga pitam za pomoć(inače je legenda ali...) tako sam ja ove godine probao sam,ali budući da se nisam pripremao(pa nisam ni znao tada AG nejednakost koja me "stajala glave")nisam se baš snašao(iako sam ,gle čuda,bio prvi),pa je bilo ono malo podsmjeha.stoga sam takvim odlučio pokazat da "ko se zadnji smije najslađe se smije",pa evo sad uz ovaj forum i neku literaturu se "nabildavam"za okršaj...
eto ako se još netko osjeća ovako,nek se pridruži pa da vidimo...

p.p.s nadam se da post nije predugačak

POZDRAV SVIMA!!!

mijo

Rešio sam sve što si postavio ali me je mrzelo da kuckam pa sam malo pričekao, kasnije sam video da su i drugi ljudi rešili pa se nisam ni javljao. Nisam pratio da li je baš sve rešeno, ako nešto i nije javi pa ću videti,

Dobro, mada malo preciziraj šta bi tačno voleo (npr. oblast), ne pada mi sad na pamet ni jedan zadatak koji bi ti se svideo ali u svakom slučaju ih mogu pronaći. I obavezno pregledaj ovaj forum, ima tu dosta lepih zadataka do sada objavljenih.

Da, bio sam i još sam uvek, da se malo hvalim ;) ove godine sam za jedno mesto omašio svetsku Olimpijadu ali nadam se da ću grešku ispraviti sledeće. Mada me iznenađuje činjenica da to znaš, ja moram da priznam da ne poznajem nijednog takmičara "preko grane".

Samo je omaška u poslednjoj rečenici, oba rešenja su tačna i potpuno ista.

Moje "rešenje" analitičkom geometrijom je bila zezancija, čisto da vidiš da ima raznih pristupa.

Apsolutno netačno!!! Ti imaš zadatak da rešiš zadatak kako god znaš i umeš, jedini zahtev je da rešenje komisije ne sme da izlazi iz okvira razreda u kom je postavljen. To je tako zbog toga da bi svaki takmičar imao šansu da reši zadatak, ali onaj koji zna više (tj. gradivo viših razreda) je logično da ima prava da ga koristi. Sad ću ti ispričati i jednu "aferu" sa takmičenja odavde, tamo neke '92-3 godine (nisam tačno siguran kad) za prvi (ili možda drugi) razred. Na Saveznom takmičenju bio je zadatak da se odredi ekstremna vrednost neke funkcije. Takmičar P. M. (neću mu spominjati puno ime) je rešio "iz rukava", dok je takmičar I. D. rešio tako što je lupio drugi izvod da dokaže da je funkcija konveksna, a zatim je lako izjednačio prvi izvod sa 0 i tako dobio rešenje. Nisam siguran da li znaš o čemu pričam, ako ne znaš to je samo dokaz da se te stvari ne uče na tom nivou. Obojica su imali sve ostale zadatke tačne. I kako se takmičenje završilo? I. D. je imao 100 bodova, a P. M. je imao 99 sa obrazloženjem da su mu skinuli taj jedan bod zbog toga što je njegov kolega rešio zadatak korišćenjem matematičkog aparata koji je mnogo iznad njegovog nivoa, i na osnovu toga oni ne mogu biti jednaki na deobi prvog mesta!!! Naravno da ni ovo nije u redu, ali sve ovo pričam da bih ti objasnio da ti smeš da koristiš sve što matematika poznaje kao tačno, a kad je predsednik komisije izvesni profesor koji je i sad na vrlo visokoj funkciji (razumljivo je što mu ne pominjem ni inicijale) onda on može čak i da zaobiđe pravila da bi te nagradio za znanje.

Ne shvatam kako bi to išlo, lako je kad postaviš zadatak sa nekog takmičenja, ali šta ako neko postavi iz neke zbirke za pripreme i sl. gde ne piše koji zadatak je za koji razred?

[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 15.08.2004. u 23:53 GMT]

paaa,ako je zbirka recimo za prvi razred....;)))))))))))))))



hmhmhm...
ovdje je ja mislim situacija bila drugačija...(državno natjecanje)
naime,jedan je učenik(ne znam ime a ni inicijale :) ) mislim iz prvog razreda ili ne znam sad kojeg nije bitno,u jednom zadatku preskočio stranicu različitih matematičkih muljanja koja su dopuštena na njegovom nivou i jednostavno aparatom(znanjem)matematike viših razreda napisao neku tvrdnju iz koje lako dobiva rješenje.
e sad su nastale dileme u komisiji.jedan dio je mislio kako se riješenje treba 100% uvažit a drugi kako rješenje ne treba priznat kao potpuno(neki čak da ga treba prekrižit!!!!)nisam siguran ali mislim da je učenik "popušio" a sigurno nije dobio sve bodove
tada sam ja bio na strani učenika i smatrao sam da je to ispravno.
ali sada mislim drukčije,naime službena rješenja su UVJEK data na razini na kojoj je i zadatak,i u principu treba samo dobra ideja.
to je ono što ja mislim da je ispravno.govoreći konkretno o zadatku s početka teme, ja sam mogao "nabubat"te derivacije ili što već i neke jednostavnije primjere, i napisat rješenje a da uopće ne znam o čem je riječ,dok s druge strane ideja koja počiva na AG nejednakosti je jednostavna,dopuštena,elegantna,razumljiva itd... smatram da je to inteligencija,snalaženje u datim situacijama s DANIM sredstvima...



crnjak....



pa ne znam može bilo šta ali evo sad trenutno recimo neke nejednadžbe...
(evo konkretno malo AG nejednakosti)
možda imaš zadatke kad si ti bio prvi,pa ako moš njih poslat...(btw. kako se ti pripremaš za natjecanja?)
poželjan bi bio i pokoji link...ma svega...a i forum je dobra ideja

a što se tiče onog zadatka s pravokutnim trokutom mislim si ja nešt ovako:




sve je jasno do tangensa.i poslje toga je sve dobro ali mislim da je krajniji zaključak pogrešan,odnosno iz kvadratne jednadžbe dobivamo dva rješenja za tangens(slično kao i bojanovo rješenje gdje imamo dvje vrjednosti za p), a time i omjer(valjda) CE/CF pa bi valjda onda te dvije dužine trebale imati i dvje duljine što je ,opet valjda:))), nemoguće

iz uvjeta zadatka izlazi(a=CE,c=EF)

pa izlazi da je kateta u takvom trokutu uvjek veća od hipotenuze što je opet nemoguće...

budući da su svi postavljeni zadatci rješeni evo par novih :)) :
(na ovom sam natjecanju bio u sedmom razredu;))
-------------------------------------------------------------------
11. DRŽAVNO NATJECANJE MLADIH MATEMATIČARA REPUBLIKE HRVATSKE
Zadar, 2. - 5. svibnja 2002.



Zadatci za I. razred


1.Duljina srednjice trapeza je 4, a kutovi uz jednu osnovicu su 40 i 50 stupnjeva. Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka 1.

2.Dokažite da za bilo koje pozitivne brojeve a, b, c i bilo koji nenegativan cijeli broj p vrijedi nejednakost


3.Nađite sve trojke (x,y,z) prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu


4."Kolo sreće" podijeljeno je na 30 odjeljaka u koje su upisani brojevi 50, 100, 150, ... , 1500 (u nekom redosljedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj brojeva veći ili jednak 2350.
-------------------------------------------------------------------
treći sam skoro riješio...a za prvi nisam siguran dal je rješenje točno,a četvrti je dost proziran dok drugi...u svakom slučaju,ko želi...

kad bolje pogledah gore,vidim da su ostali još ovi:
--------------------------------
četvrti razred:
1.Tri tangente parabole određuju trokut.Dokažite da opisana kružnica tog trokuta prolazi kroz fokus parabole.

i malo trećeg razreda...

1.u pravilnoj trostranoj piramidi kut nagiba bočnog brida prema ravnini baze jednak je plošnom kutu uz vrh piramide.oredite volumen piramide ako je duljina brida baze jednaka a.


3.koristeći se pogodnom supstitucijom odredite broj korjena jednadžbe



koji se nalaze unutar segmenta [0,1]
--------------------------------
mene samo zanima onaj s piramidom,a mislim da nije tako težak tako da ću ga probat riješit.ostali zadatci mogu pomoći drugima koji žele naoštrit moždane vijuge...

Da, kao što rekoh njihovo rešenje mora biti na nivou učenika jer kad su oni postavljali zadatak morali su svim učenicima dati mogućnost da reše. A ti ako znaš više nego ostali onda je logično i da budeš bolji od njih, tj. da se više plasiraš na takmičenju. Naravno, ni primer koji sam ja naveo nije bio po pravilima, realno su trebali da podele prvo mesto, ali kao što vidiš radi se kako se prohte pregledačima. Ponoviću još jednom, prema propozicijama takmičenja smeš da koristiš apsolutno sve što je ikad u istoriji dokazano da postoji, u to osim raznih matematičkih aparata spadaju i sve do sada dokazane teoreme, pa čak ako ti zatreba smeš da koristiš i npr. Veliku Fermaovu teoremu (dokazana je).

Zar ti ne pada na pamet da onaj ko nauči napamet teoriju viših razreda opet neće imati koristi od nje, i to treba da se primenjuje. Nećeš ti narednih godina učiti nešto što ti svaki zadatak rešava iz cuga, a da ti ni ne znaš kako to ide, sve što se uči ima i svoj način kako se primenjuje.

Da, ali ta "data" sredstva su sve ono što su matematičari uradili otkad je sveta i veka pa do danas.

Pokušaću da odaberem ponešto zanimljivo.

Ne verujem, ali potražiću, možda su mi ostali negde.

Nikako, to je moj najveći problem, strašno sam lenj što se toga tiče (a uglavnom i ostalih stvari). Prelistam svesku jedno veče pred takmičenje.

Nije nemoguće, naprotiv, dva rešenja prostiču iz toga kako si ti "okrenuo" taj trougao, da li je AC>BC ili je obrnuto.

Ovaj sam rešio jednim pogledom, stvar je strašno prosta i zahteva bukvalno dva reda. Potraži negde (imaš i ovde na forumu) Mjurhedovu nejednakost, pomoću nje se ovaj zadatak rešava jednim potezom olovke, a ta nejednakost je jako korisna i trebao bi da naučiš da je primenjuješ. Neću ti sad reći, dao sam ti uputstvo i pokušaj sam dalje, a ostale zadatke nisam ni pročitao, sad me nešto mrzi da ih rešavam.

Nakon što sam ti obećao da ću ti postaviti zadatke primetio sam da sam sve svoje knjige ostavio u drugom stanu, pa sam hteo da sačekam do septembra a tad ćeš dobiti (ima tamo i AG nejednakosti i svega ostalog, samo se strpi). Međutim, imaš sreće, sasvim slučajno sam naleteo na moje zadatke dok sam bio prvi razred sa Republičkog takmičenja, pa ti postavljam njih.

1. Dat je polinom sa celobrojnim koeficijentima. Pri deljenju polinomom , daje ostatak . Dokazati da nema ni jednu nulu u skupu celih brojeva.

2. Dat je trougao i tačke , , na njegovim stranicama , , redom, takve da je četvorougao paralelogram. Posmatrajmo krugove opisane oko trouglova i . Neka su i njihove tangente u tačkama i redom. Dokazati da je .

3. Dati su realni brojevi , , , za koje važi:
, , .
Dokazati da je .

4. Dat je trougao . Posmatrajmo prave koje seku stranice i u tačkama i redom, tako da je . Dokazati da postoji krug koji dodiruje sve takve prave.

5. Neka je zbir, a proizvod cifara prirodnog broja . Naći sve prirodne brojeve za koje je .

Eto ti malo za vežbu, javi šta si uradio. I nađe li Mjurhedovu nejednakost, onu što sam ti preporučio u prošloj poruci?

e to majstore,evo sad pogledah zadatke...

pa da se malo zagrijemo...

hehe

pozdrav

p.s našao sam o onoj nejednakosti nešto na ovom forumu,ali ništa baš konkretno.možda nisam dobro gledo,ali mene ne zanima toliko dokaz koliko sama formulacija,dakle kako glasi ta mjurhedova nejednakost.jel ima neko ko bi ju mogao postavit ovdje?'fala.