Kontruisati kvadrat koji ima istu povrsinu kao dati krug.

Taj zadatak se zapravo kzove problem kvadrature kruga lenjirom i šestarom i toliko je nerešiv, da ga je matematičar Lindeman rešio još 1882. godine. Dakle, taj zadatak je itekako rešiv.

Radi se o sledećem. Ako je dat poluprečnik kruga, konstruisati (tačno) lenjirom i šestarom kvadrat koji ima jednaku površinu kao taj krug. Problem se svodi na to da polazeći od jedinične duži konstruišeš u konačnom broju koraka lenjirom i šestarom duž ivice Pritom se Lenjir može koristiti samo za povlačenje pravih linija, a šestar samo za opisivanje krugova sa datim centrom datog poluprečnika.

Matematičari su pre Lindemana dokazali da je neophodan uslov za konstruktibilnost lenjirom i šestarom duži dužine polazeći od jedinične duži da je broj koren barem jednog polinoma sa celim koeficijentima (koji nije identički jednak nuli na celom skupu realnih brojeva), kao i da je najmanji mogući stepen takvog polinoma stepen dvojke.

Takođe se znalo da broj ima tu osobinu ako i samo ako je ima broj Lindeman je zapravo dokazao da broj nije koren niti jednog polinoma sa celim koeficijentima, izuzimajući polinom koji je na celom skupu realnih brojeva identički jednak nuli. Time je bilo dokazano da tražena konstrukcija lenjirom i šestarom ne postoji, i samim tim je ovaj problem bio rešen (negativno).

izlazi da mora biti a^2=r^2*pi,odnosno a=r*pi^1/2

problem se svodi na konsturkciju broja pi,što nije izvedivo isključivo geometrijski(samo uz pomoć šestara i ravnala)

btw. ova činjenica je dokazna tek u 19st.

u sličnu domenu nerješenih zadataka spada i dupliranje kocke(konstruirati kocku dvostruko većeg volumena od zadane)koja se svodi na konstrukciju broja 2^1/3

kao i trisekcija kuta(podjela na tri sukladna djela)za općeniti slučaj(kut od 90 stupnjeva se recimo može "trisektirati")

evo i još tri nerješena problema(bili su taki 1996)velikog matematičara Paula Erdosa:

1.Neka je P proizvoljno odabrana točka u unutrašnjosti trokuta.Označimo sa a1,a2 i a3 udaljenosti točke P od vrhova trokuta te s x,y,z udaljenosti točke P od stranica trokuta.Odrediti najmanju vrijednost izraza (a1+a2+a3)/(x+y+z)

2.Dano je n točaka u ravnini od kojih nikoje tri nisu kolinearne.promatraju se oni parovi točaka čija je udaljenost 1.koliki je najveći broj takvih parova?

3.dokazati da u konveksnom n-terokutu (n>=5)ne postoji vrh koji je jednako udaljen od neka druga 4 vrha.

p.s jel može neko da mi kaže kako da izraz poput 2^1/3 pišem onako "ljepo",a ne ovako šlampavo.

p.p.s ima još dva nerješena problema,ali ih nemogu napisati jer ne znam kako se piše znak za sumu(ono čudno e);)))


p

eto nedeljko,preduhitri ti mene:)))))

i to sa mnogo opširnijim objašnjenjem;)))

E mtvrdoje (ala ti je tesko ime bre :))) ), imas TeX ovde, imas u topu neku temu gde se objasnjava kako ga koristis.

Nije tačno. Svi ti problemi su rešeni i to negativno, dokazom da takva konstrukcija ne postoji. To je kao kada bi tvrdio da je sistem linearnih jednačina



nerešiv. Postavljeni problemi se u Matematici dele na nerešene (otvorene) i rešene (zatvorene). Ovo svakako nije više otvoren problem.


Treći od problma koje si naveo je vrlo lako rešiv. Petougao sa temenima A(0,0), B(5,0), C(4,3), D(3,4), E(0,5) je konveksan i tačka A je podjednako udaljena od preostale četiri. Doboljno je uočiti bilo koji kružni luk čiji je ugao manji od 180.^o, na njemu izabrati n-1 tačaka i za poslednju izabrati centar kružnog luka.

Prvi bi trebalo da je rešiv metodama diferencijalnog računa, a ako ne tim metodama, onda svakako metodom eliminacije kvantora u uređenom polju realnih brojeva. Šteta što iako postoje algoritmi (videti npr. program qepcad) koji taj problem rešavaju u opštem slučaju, još uvek ne postoji dovoljno brz algoritam za to.

ma,nedeljko sve je meni to jasno,samo što je meni isto ako je zadatak nerješen ili rješen negativno...stupidno,ne?;)))
čini se da je riješenje točno,ali kako da onda takav lagan zadatak može biti otvoren?možda je krivo postavljen?

e chupko ime mi je čudno zato što to nije moje ime...prilikom registracije mislio sam da moram upisati korisničko ime kojim pristupam CARNet portalu a ne korisničko ime za ovaj forum...stupidno,broj 2(jel mogu to nekako promjenit?)

evo i dva druga problema(zakon je ovaj tex;)))) )

1.dokazati da je iracionalan broj

2.u konveksnom n-terokutu sa su označene višestrukosti jednakih udaljenosti između vrhova tog mnogokuta.(vrijedi ).dokazati da postoji konstanta takva da vrijedi , za svaki -terokut.

eto,sad i ja "ljepo"pišem:))))

Pitaj gojka, ne znam ni sam da li mozes menjati ime :).

Ma ja imam disleksiju, pa mi je bilo tesko da shvatim sta tacno pise :).

To nikako nije isto da li je problem otvoren ili rešen negativno. To bi značilo da Lindeman 1882. godine nije uradio ništa. I ne samo on. U Matematici postoji veliki broj negativnih rezultata.

Mi ne možemo "silovati" činjenice, već ih samo saznati onakve kakve jesu. Uopšte nije svejedno da li znamo činjenice onakve kakve su ili ne. To je valjda smisao nauke.

ma nedeljko,svakako si u pravu,ali eto ja sam malo zatupio...

odsad pazim na takve stvari

sad shvaćam da je



i sad to skompajliram u glavi i da vidiš;)))))))))))))

pa ovo koliko vidim je cista igra rechi.....reshen u negativnom smislu..... takav pojam nisam cuo da mi je spomenuo profesor algebre :o)

termin je nereshiv i nema sta drugo da se kaze, trisekcija ugla isto...

milos23,bolje se ostavi ćorava posla,jer ako te nedeljko vidi...:))))))))))))))))

evo da nedeljko ne gubi živce s nama,još jednom

matematički problem:(rješen(zatvoren):riješen negativno(ne moš učinit ono što se u problemu traži) ili pozitivno(obratno))i(nerješen,može bit svakako;) )

ekhm

Nije on rešen u pozitivnom ili negativnom smislu. Rešen je onako kako je postavljen: lenjirom i šestarom. Pomoću nekih drugih sprava kvadratura kruga je moguća. No, onako kako je postavljen (lenjirom i šestarom) rešen je dokazom da tražena konstrukcija ne postoji. Negativnost je priroda, a ne smiso tog rešenja. Smisao je lenjir+šestar u konačnom broju koraka.

Smisao nauke je utvrđivanje činjenica. Kada se utvrde činjenice vezane za neki problem, onda je taj problem valjda rešen. Pa valjda je jednačina x=x+1 rešiva. Rešiti jednačinu znači odrediti skup svih njenih rešenja. U ovom slučaju to je prazan skup, i to se vrlo lako dokazuje. Znači, ta jednačina je itekako rešiva. Štaviše, vrlo lako se rešava.

Kod geometrijskih konstrukcija se ne traži pronalaženje svih mogućih konstrukcija traženog objekta, već barem jedne ako postoji, ili dokaz da ne postoji ako takva kostrukcija ne postoji. Inače, jedina bitna razlika između Lindemanovog dokaza nemogućnosti kivadrature kruga lenjirom i šestarom i dokaza da jednačina x=x+1 nema rešenja (to jest da joj je skup rešenja prazan) je u tome da je prvopomenuti dokaz mnogo duži i komplikovaniji. Inače, oba su podjednako verodostojna.

Mislim da treba pomenuti jos jednu klasu problema - neresive. Znaci oni za koje je dokazano da se ne moze dokazati ni da imaju resenje ni da ga nemaju.

Pre Lindemana su matematičari imali osnova da pokušavaju da konstruišu lenjirom i šestarom kvadrat jednake površine kao krug datog poluprečnika, ali je Lindeman dokazao da to nije moguće, tako da danas nema nikakvog osnova za traženje takve konstrukcije budući da se zna da ona ne postoji. Jednostavno, on je time razrešio sve u vezi tog pitanja.

Taj problem bi bio nerešiv kada se matematičkim putem ne bi moglo dokazati niti da takva kostrukcija posoji, niti da ne postoji. Međutim, ovde to nije slučaj.

E, to i mene interesuje, znaš li neki takav problem (nerešiv)?

E, moj Bojane. To je izuzetno duboko pitanje koje zadireu samu Filosofiju Matematike i na koje se ne može dati konačan odgoor.

U okviru teme "šta je Matematika" sam u svom prvom postu pomenuo kontinuum hipotezu koja bi se mogla iskazati ovako:



Drugim rečima, za ma koji skup koji se ne može preslikati 1-1 u skup N postoji 1-1 preslikavanje skupa R u taj skup. U Matematici se skup trenutno dozvoljenih sredstava za dokazivane formalizuje aksiomama i pravilima izvođenjima predikatskog računa prvog reda i aksiomama teorije skupova ZFC. Kurt Gedel je 1938. dokazao da ako je taj sistem aksioma neprotivrečan, da se onda kontinuum hipoteza ne može opovrgnuti (to jest, dokazati njena negacija) u tom sistemu. Pol Koen je 1963. dokzao da ako je taj sistem neprotivrečan, da se onda kontinuum hipoteza u tom sistemu ne može dokazati. Znači, ona ne zavisi od tih aksioma.

No, to i dalje ne znači da je ona uopšte uzevši nerešiva. Navešću jedno tvrđenje za koje je u ZFC sistemu dokazivo da je ekvivalentno sa negacijom kontinuum hipoteze, a koje je intuitivno vrlo prihvatljivo.



Opravdanje ovakvog principa leži u činjenici da pošto su slike brojeva pri ovom preslikavanju najviše prebrojivi skupovi, za fiksirano a je verovatnoća da b bude u skupu f(a) jednaka nuli. Slično tome, za fiksirano b je verovatnoća da a pripada skupu f(b) jednaka nuli. Kada bismo mogli ovde da "proturimo" Fubinijevu teoremu ili Kavaljerijev princip, onda bi skupovi svih parova (a,b) za koje a pripada f(b), odnosno b pripada f(a) bili mere nula, pa bi unija odgovarajućih događaja bio skoro nemoguć događaj. No, onda bi suprotan događaj bio skoro izvestan, pa bi izbor traženih brojeva a i b bio moguć.

Ali ovde je primena Fubinijeve teoreme ili Kavaljerijevog principa nemoguća zato što skup takvih uređenih parova nije merljiv podskup ravni. Zapravo, za dokaz nama treba i manje: da se kvadrat ne može predstaviti kao unija dva skupa od kojih jedan u preseku sa pravama paralelnim x osi daje najviše prebrojive skupove, a drugi da u preseku sa pravama paralelnim y osi daje takođe najviše prebrojive skupove.

No, da bi se odgovorilo da li ta hipoteza zaista važi ili ne važi, morali bismo znati na šta se odnose aksiome teorije skupova. Najlakše je reći "pa na skupove", ali problem je u tome što je pojam skupa jako mističan. Gedelove teoreme nepotpunosti nam govore da taj pojam ne možemo nikada "doreći", tako da je pitanje tačnosti neke hipoteze (ili problem matematičke istine) čvrsto vezano za shvatanje matematičkog univerzuma na koji se to odnosi. Isto važi i za dokazivost, a samim tim i nerešivost.

Štaviše, postoje razni pravci u Matematici (danas su najveći realizam, platonizam, formalizam i intuicionizam) koji predstavljaju razne koncepte zasnivanja Matematike dajući različite odgovore na osnovna pitanja Filosofije Matematike, kao što su pitanje šta su matematički objekti, problem egzistencije (postojanja) u Matematici, problem matematičke istine, dokazivosti itd. Sva ta pitanja su toliko tesno povezana da obično odgovor na bilo koje od njih daje odgovore na sva ostala. Ali to je jako široka tema o kojoj ne mogu ovde da pišem.