U tom tvom slucaju nisi uracunao i sirinu Pere i Zike. Posto i pera i Zika imaju dimenzije vece od materijalne tacke, normalno je da mogu da se dodirnu, cak i kad ispune SVE uslove iz tvoje postavke.

Taj tvoj paradoks, kako ga ti nazivas, uopste ne postoji.

Poz, alex.

ne, ne, ne ... nisi lepo razumeo, ustvari ja nisam napomenuo sledece, mislio sam da je apsolutno nepotrebno, ali ajde:

Ne posmatramo Miku i Peru kao jedinku vec recimo dve njihove najblize materijalne tacke, atoma, elektrona najblizeg atoma, ili kako ti vec lepse zvuci ... Shvati to onda ovako - obojica ispruze ruku i prst i rastojanje izmedju dva njihova najbliza atoma prsta je 1m .... Da li ti sada lepse zvuci ?

Poenta je da je to konvergentan niz koji tezi 0, a ono sto je problematika i pitanje je kako bi to izgledalo u praksi, ustvari to je kontradikcija u praksi jer ce se dodirnuti prsti ...

Ako u praksi uspes da izmeris TACNU polovinu prethodne razdaljine (sto je nemoguce) onda se naravno prsti nikada nece dodirnuti.

Matematika je egzaktna nauka koja pokrece i prozima se kroz sve sto postoji. Stoga, pre ce biti da je praksa (odnosno sistem u kome smo mi) neperfektna, iz jednostavnog razloga - sto je razdaljina bliza nuli, to je veca greska za pogresno merenje. Svaki fizicar ti moze nasiroko i nadugacko pricati o problemima merenja i koliko to utice na eksperimente.

Prema tome, nije kriva matematika za taj tvoj paradoks (koji, opet kazem, uopste nije paradoks), vec sistem u kome zivimo.

Poz, alex.

Trazis da izracunamo beskonacnu sumu duzina, uz uslov da se ta suma nikako ne sme izracunati da bi se doslo do odgovora.

Napravio si varijaciju na Zenonov paradoks uz dodatni uslov da se tacan odgovor ne prihvata kao tacan odgovor. Zenon medjutim takav uslov nije postavio prosto zato sto nije poznavao nacin da dodje do objasnjenja svoje teze.

S obzirom da je nemoguce da u isto vreme vaze i postavka i njena negacija, odgovor na tvoje pitanje jednostavno ne postoji.

poz.

Nisam ja ni rekao da je matematika kriva ... A zakljucak da je sistem u kome zivimo "kriv" je veoma diskutabilan, naravno slazem se sa tim ... U svakom slucaju, interesantna tema za razmisljanje.
A ti si bas zapeo za "paradoks", ajde prekrsticu ga u kontradikciju ... uf bre, al si ti naporan neki, uopste se ne udubljujes u problematiku ... Klasican skeptik, ke ke ke

Pa zar ovo nije bre konstradikcija majku mu

i meni je ovaj PARADOX!! padao na pamet par puta i nemam objasnjenje za njega
mozda odgovor ne treba traziti u matematici

Hehe, samo da ste uzeli u obzir vreme, paradoksa ne bi bilo.

hm.. nerazumem kakve veze ima vreme??

imam 2 stvari da kazem u vezi sa ovom temom.
kao prvo tacno je da se oni NIKAD nece dodirnuti i to je tacno uvek, i u praksi.
KAKO?!? lako, sad cu da vam objasnim.
dva coveka se nikad ne mogu dodirnuti zato sto ce izmedju molekula prsta jedne
ruke i molekula prsta druge ruke delovati odbojna sila elektrona kad se ti molekuli
priblize :-)))
dobro mozda i nije tako ovo se zezam (da li?!?) i to nije pravo resenje problema.

evo pravog resenja: neko je pitao kakve ima veze vreme.
ima velike veze. neka se covek koji je krenuo iz tacke a u tacku be krece
konstantnom brzinom v. neka on on prvu polovinu puta predje za neko vreme t.
sledecu cetvrtinu (polovina naredne polovine) ce preci za t/2. sledecu osminu za
t/4 itd. kad se sabere t+t/2+t/4+........ dobija se konacan broj.
taj broj nije veci od 2t. u beskonacnosti je jednak 2t. znaci kad prodje vreme
2t covek ce preci preko tacke B.
da li vam je dovoljno ovo objasnjenje?
komentari?

OET rulez



Uopste nije dovoljno, jer si opet izvrsio aproksimaciju, samo na drugi nacin, naime - kad ce proci vreme 2t, tj. kad ce zbir biti 2t ? Onda kad rastojanje bude bilo nula, a vec se vidi da nikad nece biti, znaci ti si opet odradio limes kad n tezi beskonacno, to sam odma' reko da necu da cujem

Jednostavno - resenja nema ...

Rešenja ima, samo ako uključiš vreme. Neka se A i B kreću jedan prema drugom, relativnom brzinom 1m/s, a njihovo početno rastojanje je 8m. Posle 8s, oni će se dodirnuti, kako god ti okrenuo. Jednostavno, tvoja postavka vodi do paradoksa, jer si ti stalno "delio" rastojanje sa dva, zaboravljajući da moraš da podeliš i vreme sa dva ako je brzina konstantna. E, ako se brzina smanjuje i teži nuli, onda je tačno da se nikada neće dodirnuti, ali ni to nije paradoks, već logično stanje stvari.

Taj tvoj (u stvari Zenonov) "paradoks" u stvari kaže da se A i B neće sudariti posle 4s, 6s, 7s, 7.5s, 7.75s, ... 7.999999s, itd. Međutim, kad "otkuca" 8-a sekunda, oni će se dodirnuti. Nema tu ničeg "paradoksalnog".

da, uostalom

7.99999....=8 jer

7.99999....=7+9/10+9/100+9/1000+9/10000+....
=7+9/10(1+1/10+1/100+1/1000+....)
=7+9/10(1/(1-1/10))=
=7+1
=8

slicno se i svaki drugi periodican broj moze predstaviti na dva nacina.

Glup 'paradox'...

Recimo da razmatras peru i ziku kao dve njihove nablize tacke... dva atoma recimo...

Kad znamo da telo sacinjava mnostvo atoma koji i nisu bas tako cvrsto sabijeni (ne dodiruju se) vec oni kao plutaju u nekom prostoru, i recimo da je rastojanje izmejdu nih 0.1nm, kada zika pridje peri (odnosno njihovi najblizi atomi), oni se nikada nece pribliziti na razdaljinu od 0nm, vec ce dodi na 0.1nm i tada mozemo da racunamo da su se oni dodirnuli jer vec tada ta dva atoma deluju jedan na drugoga sa nekim silama... ako krenu i dalje da se priblizavaju oni ce krenuti da sabijaju jedan drugoga smanjujuci razdaljinu izmedju njih...

Prosto i jednostavno...

Vidim da ne odustajete od ovoga, pa da dodam:

Nikakve greške nisu potrebne. Problem se postavi tako da imamo dva tela (tačke, šta god) na nekom rastojanju (bilo jedinično ili ne, to je relativno i proizvoljno). Ustanovimo kretanje ta dva tela jedno prema drugom (opet, sve ostale karakteristike tog kretanja nisu bitne).

U nekom trenutku će se jedno telo približiti drugom na pola rastojanja, pa zatim na polovinu preostalog, odnosno četvrtinu, itd... Pitanje je da li će do susreta doći. Ni vreme ni korpuskularne osobine nemaju uticaja na odgovor. Ukoliko kretanje traje (znači ne desi se da u nekom trenutku prestane), i mi ispitujemo približavanje jednog tela drugom (znači ne ispitujemo šta će biti posle susreta), čini se mogućim da i do susreta ne dođe (ili je to bar imalo smisla kod Zenona, ali ima i sad).

Kako se radi o beskonačnom redu (kako su neki već napomenuli), mi sada (mislimo da) znamo da je ta vrednost konačna. Međutim, stvar je što se to može dokazati samo preko teorije beskonačnih redova, za koje je neophodna aksioma potpunosti, ili aksioma neprekidnosti u skupu realnih brojeva. Znači sve se svodi na aksiomu, za koju (kao što svi znamo) smatramo da je tačna, ali nismo u stanju da to dokažemo.

Uostalom svaka nauka se bazira na nekim aksiomama (naziv ostao iz nekadašnjih vremena kada je to označavalo opštepoznate ili opšteprihvaćene tvrdnje, a sada nam označava osnovnu pretpostavku).

Znači konačan odgovor na pitanje je: data dva tela pod datim uslovima će se susresti ako važi aksioma neprekidnosti (da li ovde može akko?) u skupu realnih brojeva. Ukoliko ne važi, moraćemo da razvijemo zasebnu analizu, međutim, prema našim empirijskim zaključcima rekli bi smo da važi.

Tako, ukoliko neko želi, može i tvrđenje da će se ova dva tela sresti uzeti kao jednu od aksioma skupa realnih brojeva umesto aksiome potpunosti.

Toliko.

ps. drugo ekvivalentno razmatranje posmatra realni niz brojeva koji označavaju pređeni put u nekom trenutku, koji je jasno rastući (ako ovo nije ispunjeno nije ispunjen ni uslov postavke problema da se tela kreću jedno prema drugom), ali je istovremeno i ograničen odozgo (ne može biti veći od početnog rastojanja). Iz iste osnovne teorije analize odatle direktno zaključujemo da je vrednost ovog niza konačna, i jednaka upravo ovom ograničenju (početnom rastojanju), što znači da do susreta ova dva tela zaista dolazi.oreru -
zbog odredjenih razlo

Cirkulus Viciozus

Ma ovo je samo paradoksiranje paradoksnog para ....

ne znam kakvo ti je to PARADOKS - da li mi uopste postojimo ? pitanje, pa naravno da ne postojimo jedan za drugoga ako su naše granice zatvorene za nas pa i za druge u našoj dimenziji.

Ma stvarno je dobro što bar imam oči i nos, .... hm a što se točaka tiče one "imaju svoju matematiku" ...

U elektronici se dobar procenat struja zanemaruje jer >>0, a bez toga nishta se ne bi moglo izrachunati. Medjutim u praksi to tako lepo shljaka da je po meni nepotrebno zamajavati teoretisanjem tipa otpor zlatnog provodnika.
I josh neshto, meni je bitno da ja mogu da se rukujem sa chovekom koga sretnem, a teorija...

P.S. idem u elektrotehnichku shkolu.

Najverovatnije si mislio -->0, pošto meni ono više liči na veće struje, ako grešim, slobodno me ispsuj.



Da tu si u pravu do neke mere. Međutim, iako i dalje veliki broj pojava možemo da približno tačno opisujemo Njutnovskom mehanikom, ipak ona nije pomogla začuđenom Majkelsonu (ili kako se zove) kad je merio brzinu Zemlje. Dobi čovek da nam Zemlja miruje. I eto, jedna takva nadasve sjajna aproksimacija kakva su Njutnovi zakoni (ili principi, aksiome), ispadoše nekorisni i ipak nepraktični u velikom broju slučajeva.

Zato bih se uzdržao od bilo kakvih komentara te prirode (da nisu možda i Ajnštajnovi principi samo dobra aproksimacija??), ali naravno ne mogu tebe da sprečim da imaš takav stav. Važno je u svakom trenutku biti svestan da radimo sa približnim vrednostima, pa ćemo u nekom trenutku, kada budemo raspolagali dovoljno preciznim instrumentima znati gde da potražimo razloge neslaganja rezultata sa očekivanim. Da je tako bilo ranije, ne bismo sada ono što se naziva Ajnštajnovom teorijom zako zvali.



To što si ti u stanju da se rukuješ sa ljudima dovoljno govori o značaju koji ti pridaješ društvenim aktivnostima, i svi mi poštujemo i tu tvoju stranu :) Međutim, kada shvatiš zašto si ti u mogućnosti da se rukuješ sa nekim čovekom (teorija), moći ćeš da stegneš mnogo više ruku :)

P.S. a ja studiram svašta što u nazivu nosi ,,teorijska'', pa bih mogao biti naklonjen toj strani problema, ali zapravo nisam (ili se trudim da ne budem).

Toliko.a po NET-u trazeci ono sto im t

Pomenuo si teoriju relativiteta i pitanje o njenoj ispravnosti.

citat:
Teorija kaze da su zakoni fizike i brzina svjetlosti uvijek isti ako se neko tijelo krece ravnomjernom brzinom, bez obzira kolikom i u kom pravcu.

To znaci da ce novcic uvijek pasti na zemlju, cak i ako je ispusten iz vozila koje se krece velikom brzinom.

Teorija medjutim nikada nije dokazana i americki naucnici sada planiraju da upotrijebe ultra precizne satove u svemirskoj stanici kako bi vidjeli da li u prostoru ili vremenu ima promjena koje se ne mogu izmjeriti na zemlji.

Ako promjene postoje, to bi bilo u suprotnosti sa Ajnstajnovom teorijom. Odgovor na ovo pitanje cekace se jos nekoliko godina.
rg

www.cafemontenegro.com

Navela sam samo kao informaciju.

Što se tiče pomenutog teoretisanja, rekla bih sledeće:
Npr. matematika počiva na tzv. teoriji skupova. Ona sadrži brojne aksiome (recimo, aksioma praznog skupa, koja nam govori o egzistenciji istog). Kako i sam naziv aksioma upućuje na tvrdnju koja nije dokazana, tako ni jedna od ovih aksima zaista nije dokazana niti se dokazuje. Međutim, kad bi se pojavio neko i oborio jednu jedinu aksiomu, cela matematika, ovakva kakvu je poznajemo, 'pala' bi u vodu. Morala bi se drugačije zasnovati. Pa tada ne bi važilo ni da je 2+2=4, a kamoli nešto komlikovanije.
Naravno, to je sastavni deo teorijskih diskusija, koje nam i ne trebaju da bismo koristili teorijske rezultate. Ali, da nema teorije, često neshvatljivo apstraktne, ni jedan rezulatat u praksi ne bismo smeli proglasiti ispravnim, jer se ne bismo imali na šta osloniti.

poz

Preporuka za zainteresovane, knjiga iz fizike koja se bavi proučavanjem kretanja kao osnovne pojave u prirodi (ili je to iluzija, kako bi Zenon rekao), i obrađuje ga hronološki: kako se do izvesnih zaključaka dolazilo, i šta je konačni epilog.

Knjiga je na preko 700 strana, na engleskom jeziku (izgleda da je on ipak standard, iako je knjigu pisao čovek koji govori 6-8 jezika), besplatno se skida (jedini je zahtev da je ne koristite za zarađivanje i da pošaljete sve primedbe e-mailom).

U drugom delu knjige se govori o eksperimentalnim rezultatima koji pokazuju da nije uvek moguće umetnuti neku tačku između dve date (što je u suprotnosti sa pomenutom aksiomom neprekidnosti). Prema tome, upravo Zenonov paradoks (i cela ova tema) stupa na snagu, i kretanje je zaista iluzija.

Ako vas je ovo zainteresovalo malo više (dovoljno da posvetite tome malo više vremena od pisanja jedne poruke na Forumu), preporučujem download od >5MB PDF fajla, i lagano čitanje. Jasno je da čitanje drugog dela knjige nema smisla bez dobrog poznavanja prvog, ali velika prednost knjige je što je napisana deskriptivnom fizikom (ala Njutn, nije potreban značajan matematički aparat), pa je dostupna široj publici (neki fizičari i matematičari ne vole ovakav pristup, ali on je u svakom slučaju veoma zanimljiv).

Konačno, adresa je Motion Mountain web.

Napominjem da ništa od ovog što sam ja ovde izneo ne mora biti tačno, već treba samo da pobudi interesovanje za pravo čitanje knjige.

Što se tiče ,,padanja matematike u vodu'', tu bih istakao samo da je Matematika sigurno jedina nauka koja je u potpunosti ispravna, i ne može biti netačna nijednog trenutka (pa zato ni nikad ne može pasti u vodu). Ovo, iz prostog razloga što su njene osnovne pretpostavke jasno definisane (aksiome), i nije bitno da li su one tačne ili ne, Matematika ne daje konačan odgovor na to pitanje. Zapravo, Matematika nam odgovara na pitanje šta važi pod datim pretpostavkama (aksiomama).

Nije mi poznato da je ijedna druga nauka uspela da prepozna svoje osnovne pretpostavke i da ih precizno formuliše (fizika delimično---naročito u oblasti mehanike, prvenstveno klasične, ali i relativističke).

Toliko.rzi. A taj trenutak ce da potra

Matematika je ispravna onakva kakvu je poznajemo, ali to ne garantuje nemogućnost da je neko jednog lepog i sunčanog dana sruši.

Drugačije rečeno, morali bismo da pravimo neku drugu matematiku, na nekim drugim pretpostavkama.

Aksiome su nedokazane istine, pa je jako važna pretpostavka da su aksiomatska tvrđenja tačna. A baš zato što su nedokazana postoji mogućmost da neko dokaže njihovu tačnost ili netačnost. Ako bi neko dokazao da bar jedna ne važi, onda ni jedna njena posledica ne bi važila. Jer ne bi počivala na istinitoj pretpostavci. To će reći -- iz laži ne bismo smeli izvoditi ispravne zaključke.

Logika kaže da iz neistinite pretpostavke možemo izvesti istinit zaključak. Ali po zakonu verovatnoće, što nam ne garantuje ispravnost svakog zaključka.

Postoji teorema koja kaže da je matematika neprotivurečna ako i samo ako je aritmetika neprotivurečna. To je jedna od teorema -- posledica pretpostavke da je matematika ispravno i dobro zasnovana. A problem zasnivanja matematike je rešen dogovorom da sistem nedokaznih tvrđenja, koja smatramo istinitim, nazovemo aksiomama. Pri čemu niko nikome nije zabranio da pokuša da dokaže neispravnost neke aksiome.

To pitanje uopšte nije jednostavno, a tebi bih preporučila da pogledaš filozofiju matematike (ako te zanima), gde možeš da vidiš nešto više o ovom problemu. Gde matematika pokušava da da odgovor.

poz

npr. sin(x), pa slijediš korak

Mada ovo nije odgovarajuća tema,
na ove komentare odgovoriću pitanjem:
Da li je tačna Euklidska geometrija ili geometrija Boljai-Lobačevskog?

Svi znaju da se razlikuju u (samo?) jednoj aksiomi. Ja tvrdim da su obe ispravne, a po tvom bi samo jedna mogla biti ispravna (ili nijedna od njih, ali najviše jedna u svakom slučaju).


A dokazivanje ili opovrgavanje jednog doslednog skupa aksioma se ne radi u matematici (njihova doslednost se proverava, a to je nešto sasvim drugo; ne smemo doći do protivrečnih tvrđenja). Matematika ne raspolaže odgovarajućim aparatom za utvrđivanje ,,ljudskih istina'' (to upravo i jeste posao filozofije), a matematika (nevezano za njen jezik i naše pojmove) je vrlo precizna, i zna se kada je neki zaključak pomoću nje ispravan.

Ja sam bio ubeđenja da se davno odustalo od pretpostavke da su aksiome zaista ,,istine'' (ali po tebi sudeći, nije). Ipak je Lobačevski svoje zaključke izvodio pre mnogo-mnogo godina, a zatim smo imali i Ajnštajna, itd.

Trenutno matematika barata u velikoj meri sa zamišljenim skupovima aksioma koje ne možemo odmah uočiti u prirodi, i u tome se sastoji njena apstrakcija.

Tek sa praktične strane mi neke od aksioma pokušavamo da povežemo sa ,,stvarnim'' stanjem stvari. Ovakvi sistemi aksioma koji su naizgled povezani sa okruženjem, su delimično ,,eksperimentalni'', i na taj način najveći značaj imaju za ,,nematematičare''. A matematičar mora biti u stanju da izgrađuje sisteme aksioma koji su dosledni (a to je jedini zahtev), a da to ne mora odgovarati uvek onome što se drugima čini ,,očiglednim''.

Zato se slažem da je sa praktične strane značajno da li su aksiomatska tvrđenja tačna ili ne, ali i ističem da sa teorijske to nema nikakvog uticaja---i dalje će funkcionisati stara matematika (nigde neće pasti, pa ni u vodu, niti će se igde srušiti).

Ti si, čini mi se navikla da radiš konvencionalnu matematiku, i sigurno ne primećuješ da ti uvek zapravo proveravaš da li u datom sistemu važe aksiome, pa tek onda primećuješ da možeš koristiti tvrđenja koja proističu iz tih aksioma. Tako, kada govorimo o realnoj funkciji realne promenljive, mi imamo na umu sve aksiome polja i totalno uređenje skupa realnih brojeva, kao i onu pomenutu aksiomu neprekidnosti. Ukoliko su realni brojevi nešto drugačiji, te nove brojeve možemo nazvati nervozni-realni brojevi :) (ukoliko je neka aksioma ,,netačna''), ali sve isto kao i pre važi za realne brojeve koji se nisu izmenili, i čije se aksiome nisu izmenile itd.

Toliko. restartujem kada stigne neki n

Ti si jednostavno pogrešno razumeo šta sam ja rekla.

Vekovima su ljudi pokušavali da dokažu neispravnost Petog Euklidovog postulata, zbog velikog broja posledica koje su izvedene iz pretpostavke da postulat ne važi.
Jedino što su uspeli da dokažu je postojanje hiperboličke geometrije i nezavisnost aksiome paralelnosti od ostalih. Lobačevski je čak pokazao da 'njegova' geometrija nije protivurečna euklidskoj.
Ali niko nije dokazao da aksioma paralelnosti i njena negacija nisu tačne, same po sebi.

Dokazivanje svakog matematičkog tvrđenja se radi u matematici. Matematičari su ti koji su pokušavali naučno da opovrgnu pomenuti postulat, ne filozofi.

Skup je osnovni pojam matematike. Gde bi drugo mogao da dokazuješ bilo šta o skupovima, ako ne u matematici? Tako isto, ako bi neko hteo, niko mu ne brani da proba da dokaže aksiomu praznog skupa. Matematičkim aparatom.

Ne možeš da znaš postoji li danas neki naučnik koji se bavi istinitošću aksioma. Druga su stvar rezultati. Tvoje ubeđenje je, stoga, proizvoljno.

Naravno da u zatvorenom sistemu važe isti aksiomatski principi, kao što zatvorene sisteme možemo povezati izomorfizmima, homeomorfizmima itd., ali svi ti sistemi imaju istu osnovu -- teoriju skupova.

Razmatrane dve geometrije se razlikuju u uslovu. Za jednu situaciju imamo ovo, a za drugu ono. Oba uslova su ravnopravna i pretpostavimo tačna.
Uporedi sa funkcijom 1/x. Za x manje od nule imamo negativne brojeve. Za x veće od nule imamo pozitivne brojeve. Ali za x jednako nula nemamo nikakav broj, jer deljenje nulom nije definisano! Dakle, nula je isključena.
Kad bi isključili neku aksiomu zbog netačnosti, da li bi išta iz nje moglo da se izvede? Pa bi sve ono što je počivalo na njoj bilo praktično nedefinisano ili netačno.
Više ne bismo mogli da baratamo stvarima onakvima kakve su bile do tada. Morale bi ponovo da se prave, izmenjene.

Nisam ja rekla da će obavezno da kontriraju onome što je važilo ranije, samo da će nestati u obliku u kojem smo ih poznavali. Ili formi, ako ti se više sviđa.

Čitaj moje postove pažljivije, pa ćeš videti da kažem isto što i ti kasnije objašnjavaš. Ne govori u moje ime ono što nisam ni rekla.

poz gu�u gre�ku, a kad tra�imo najm

ako krenemo iz tacke A u tacku B moramo da prelazimo "neki put" u jedinici vremena (sto je u stvari kretanje, kapirate krenemo=>kretanje :-) ako ostanemo pri toj brzin onda ce preostali put u nekom trenutku biti jednak ili manji od "nekog puta" koji prelazimo u jedinici vremena i onda samo treba da sacekamo da jos proce jedna jedinica vremena i stigli smo.

sa druge strane ako neobracamo paznju na brzinu vec nam je jedino vazno da predjemo polovinu puta onda naravno da nikada necemo stici do tacke B ali naravno to u praksi nije moguce zbog gresaka pri merenju.

Čini mi se da nisi razumeo pitanje: kretanje se vrši; brzina nija bitna (pa prema tome ni vreme u tom smislu) pošto je pitanje da li će ikad (znači tražimo samo konačnu vrednost) doći do susreta, tj. da li će ikad pređeni put biti jednak početnom rastojanju (radi jednostavnosti možemo uzeti da se kretanje vrši po pravoj liniji; naravno ovo nema uticaja ni na kakve zaključke osim što se komplikuje rasuđivanje).

Dalje, pretpostavljam da si ,,fizičar'' ili nešto slično, pošto je pripisivanje pojava greškama uglavnom njihov običaj :) Međutim, ovo se svodi na misaoni eksperiment, a u njemu nema takvih grešaka, i ovime se ispituje suština kretanja. Tako, mi znamo (ili mislimo da znamo) da će u nekom trenutku dva tela prići na pola rastojanja (a kada će se to odigrati je nebitno; takođe nije od značaja da mi to izmerimo ukoliko se složimo da će se ovo zaista dogoditi pa tako ni greške nemaju uticaja). I prema tome kretanje je protivrečno samo sebi ukoliko se ne uvedu dodatne pretpostavke.

Klasično, ovaj problem se razrešavao pomoću beskonačnih redova (vidi prethodne poruke), ali da li cela ova teorija ima smisla (ili je kretanje ipak samo iluzija), možda možeš saznati čitajući www.MotionMountain.org

Pozdrav
1�
deli BSOD.

Uglavnom, ak

Implant je u pravu - vreme, a samim tim i brzina jednostavno moraju da se uzmu u obzir, inače cela priča o kretanju postaje potpuno besmislena.

I inače, kao što sam objasnio u prethodnom postu u ovoj temi, ne vidim u čemu je paradoks. Ako se dva tela (tačke, kako hoćete...) kreću jedna ka drugoj const brzinom, rastojanje između njih će u jednom trenutku biti jednako nuli i nikakvi konačni ili beskonačni redovi nisu potrebni da bi se dokazala ta prosta činjenica...

Paradoksa uposte nema, jer na dovoljno malim rastojanjima prestaju da vaze zakoni klasicne fizike i pocinju da vaze zakoni kvantne mehanike. Neko je spomenuo da se atomi Mikinog i Perinog prsta nikada nemogu dodirnuti sto je tacno, zbog velikih odbojnih sila. Sve je to posledica cini mi se Xajzenberg-Paulievog principa kvantne mehanike, kako mi ovo nije struka, prepusticu nekom ko vise zna o tome da o ovoj teoriji pise. Ono sto bismo mogli razmotriti u ovom slucaju je pojam "dodira", sta znaci to kada se dva tela dodirnu. Prema svemu sto je prethodno izlozeno, znamo da se oni nikada nece dodirnuti, ali mi ipak kada dodirnemo nekog to osecamo. Ono sto ustvari osecamo je sila kojom to telo deluje na nas, ili atomi tog tela, tu silu ce registrovati nas nervni sistem ili sta vec (evo posla i za nekog doktora), i mi cemo registrovati u nasem mozgu da smo dodirnuli nesto ili nekog.

unlimited: ti si tek pogrešno shvatio u čemu je ,,paradoks''. Dodir nije bitan, neka je pitanje samo da li će ikada jedno telo preći razdaljinu od 1m (ili bilo koje jedinice rastojanja).

Dragi Tata :)
Za tebe dodajem još jedan uslov: jedno telo se kreće prema drugom (makar i na način opisan gore), brzina je zaista nebitna, i jedino što znamo je da je u svakom trenutku pređeni put veći od pređenog puta u nekom prethodnom trenutku.

Dalje, to što ti tvrdiš da će rastojanje biti u nekom trenutku jednako nuli je tačno ukoliko je tačan zakon brzine koji koristiš (ono još iz osnovne škole, s=vt). Međutim, kao što svi vi sigurno znate, taj zakon se izvodi pomoću diferencijalnog računa; a, diferencijalni račun u ovakvom obliku ne postoji bez čuvene ,,aksiome neprekidnosti'' (prostim jezikom rečeno, između dve tačke uvek ima još jedna). Ova ista aksioma je osnova izvođenja i beskonačnih redova, koji takođe, kao i izvodi, baziraju na teoriji graničnih vrednosti.

Zato, ovo zaista jeste paradoks ukoliko sumnjamo u aksiomu neprekidnosti (a u nju imamo razloga da sumnjamo), pošto nismo (trenutno) u stanju da je dokažemo.

Konačno, mogu da se složim da beskonačni redovi nisu neophodni (mada su oni najčešće korišćeno objašnjenje), međutim, izvođenje zaključaka preko brzine ili redova je ekvivalentno (zbog gore pomenute veze).

Nadam se da sam objasnio u čemu je poenta. Ukoliko sam nejasan, žao mi je :(

Toliko.e i tramvaje bez obzira da li j

tOwk ne mozes da kazes da brzina nije vazna jer je od presudne vaznosti.

evo primera:
s=10m
v=1m/s
polako ces se priblizavati cilju i nakon 9.375s [1/2+1/4+1/8+1/16 puta]
nakon cega ce ti ostati da predjes jos 1/16 puta [ili 2x 1/32 ili 4x 1/64 ... nebitno jer je to sve ista duzina]
ako nastavis da se kreces istom brzinom precices tu razdaljinu za manje od 1s [0.625s] ali ako je tebi BAS stalo da predjes samo 1/32 puta onda ces to preci za 0.3125s pa onda sledecu deonicu za 0.15625s itd ali kad saberes sv te intervale ono nikako ne moze biti vece od 10s [tj bice tacno 10s].

malo je zajebano to oko deljenja na beskonacno mnogo delova jer ako uzmes neki broj pa ga izdelis na beskonacno razlomaka sta bi trebao da dobijes kada saberes sve te razlomke???

I ti koristiš isti zakon brzine koji se izvodi pomoću diferencijalnog računa. A o tome pročitaj bolje moju prethodnu poruku. Zbog toga tvoj zaključak izgleda ovako: ,,ako pretpostavimo da će se oni susresti (preteći, stići, ili šta već), onda će se oni susresti''.

Čini mi se da ti ,,znaš'' da je to tako ,,empirijski'' (i meni to tako izgleda---ali da li jeste tako?), međutim, da se dokaže da će tako biti nije moguće bez teorije graničnih vrednosti.

Prema tome, ti si u pravu dok god je tačna i teorija graničnih vrednosti (i aksioma neprekidnosti---a ovo je jedna pretpostavka o našem svetu koja ne mora biti tačna; kao što i neke druge dosad nisu bile tačne), a tome sam pisao i pisao u prethodnim porukama.

Valjda je ovo
Dovoljno.

PS. O svemu ovome ima mnogo više na prvoj strani ove teme; i definitivno pogledajte www.MotionMountain.org

Da, upravo u tome je problem, jer ukoliko ih sabereš očekuješ konačan broj (tj. ukupno rastojanje, u tvoj slučaju s=10m). Ovako se sada dobija konačan put za konačno vreme (pomoću beskonačnih redova koje ti neprestano zanemaruješ).

Međutim, ukoliko ne važi (moja omiljena, rekli bi ste :) aksioma, onda će taj put uvek biti manji od zahtevanog. Isto tako, nećemo moći da izračunamo za koje vreme će se to kretanje odigravati, itd.

Nikad nije
Dovoljno.

Zanimljiva rasprava!

Ovde je towk u pravu.
Naime, postavka zadatka ka�e da je ovde konstantno samo rastojanje izme�u dve ta�ke. Ali pre�eni put po koracima ima razli�ite vrednosti. Sasvim je nebitno da li da uzmemo brzinu ili vreme kao konstante, jer se zbog proporcionalnosti sa putem ne�to od ta dva mora menjati. Nebitno je i stoga �to nas zanima samo parcijalna putanja po koraku i njihova suma.

To �e re�i da je va�no da idemo odre�enim korakom (�ija parcijalna brzina nije bitna) u odre�enom vremenskom intervalu (�to opet nije bitno, jer mo�emo posle svakog koraka da pravimo pauze, koje na pre�eni put ni najmanje ne uti�u) i da zbir tih koraka bude jednak ukupnom rastojanju!

Dakle, bez obzira kakvo vreme uzeli i kakvu brzinu, nama je va�no samo da proverimo da li �e suma parcijalnih putanja biti jednaka datom rastojanju.
Prakti�no, ono �to nas zanima ne zavisi ni od brzine ni od vremena.

Pre�eni put je , naravno, beskona�ni red.
Ako kretanje, izra�eno preko parcijalnih putanja napi�emo ovako --
(1/2)*(1+1/2+1/4+...+1/(2*n)), gde je n broj koraka
izraz u zagradi je parcijalna suma beskona�nog reda, koja se mo�e izra�unati. Kad ona pre�e broj dva (zna�i, kad ta suma bude ve�a ili jednako od dva ), dosti�i �e se dati put, jer je (1/2)*2=1, a taj put smo i trebali pre�i.

To je samo matemati�ka matoda koja dokazuje da smo zaista u stanju da pre�emo rastojanje od jednog metra, ako se kre�emo na opisani na�in, a ,naravno, kako tOWk re�e, teorija beskona�nih redova je ta�na i ovako primenjiva ako i samo ako va�i aksioma naprekidnosti (i sve ostale, zajedno sa njom).

poz

Nisam čitao sve postove, ali ja koliko znam prostor (i vreme) su kvantizirani, t.e. ne možeš deliti do beskonačnost. Postoi neka najmala velčina koju ne možeš podeliti.

[Ovu poruku je menjao sojic dana 07.10.2003. u 00:57 GMT]

Ne slazem se sa tOwk-om da vreme ne treba uzimati u obzir. Pitanje "kada ce se sresti?" ne moze da se odgovori ako se ne uzme u obzir vreme jer je pojam "kada" vezan za vreme...

E a da li ce se sresti zavisi od brzine. Ako je npr. brzina konstantna oni ce se sresti a ako je brzina npr. v=1/e^t oni se nece sresti iako su ispunjeni uslovi zadatka da svaki put mozemo da dodjemo do nove polovine puta....

Znaci brzinu i vreme moramo uzimati u obzir!

Na ovo pitanje posoje dva odgovora (kasno sam primetio raspravu ;)

1. Zenonov: Kretanje NE postoji. Sasvim realan i logican odgovor - kretanje je samo iluzija. Evo jos jednog Zenonovog primera (malo modifikovanog):
Fotografisite strelu u letu.
Da li se ona na slici krece? Ne.
Znaci da se kretanje sastoji od mnogo mirovanja - pa samim tim i nije kretanje.

2. Neprekidnost: Tacno je da se razdaljina moze deliti na beskonacno mnogo delova (cak i na mnogo vise nego samo 1, 1/2, 1/4... jer je skup racionalnih brojeva prebrojiv, za razliku od realnih), ali se i vreme moze, isto tako, deliti pa nije problem preci beskonacnosti u beskonacnom vremenskom intervalu (kardinalni broj oba skupa je Alef 0). Samo zamislite realnu f-ju realne promenljive f(x)=x - ona "prelazi" beskonacno mnogo tacaka bez problema i "stize na cilj".

p.s. U Zenonovom paradoksu NIJE problem to sto se ovi nece dotaci, nego da li kretanje postoji s obzirom na gore navedeno - da se od A do B mora preci beskonacno mnogo tacaka.

p.p.s. A sto je neki prethodnik rekao, ni prakticno se nece dotaci ako je moguce interval deliti uvek TACNO sa dva. I ne zaboravite da se rastojanje dva skupa meri, ne sa minimumima i maximumima, nego sa infimumima i supremumima.

p.p.p.s. Kakve veze ima ovaj naslov sa ovim paradoksom?

Zenon je kretanje definisao na protivrecan i konstruisan nacin, pa je zato lako i dokazao da takvog kretanja nema.

Posto kretanja objektivno ima (posmatranjem to mozemo uociti), paradoksalnost se reflektuje na postavku problema - znaci da ne postoji Zenonovsko kretanje koje proizilazi iz uparivanja prostornih i vremenskih tacaka jer, to sada znamo, ne postoji apsolutan prostor i apsolutno vreme, nego kretanje postoji apriori, ono je osnovno, a ne izvedeno.

Eto, stari Grci su bili na pragu otkrica relativnosti i bez merenja brzine svetlosti i eksperimenta Majklsona i Morlija...mada to na njihov zivot ne bi narocito uticalo dok ne bi otkrili i atome...cekaj malo, pa oni i jesu otkrili i atome! :)

"I tako je Grcko Persijanski rat zavrsen katapultiranjem prve dve atomske bombe na lucke gradove Tir i Sidon, posle cega je Persijski car Darije izjavio da nije potomak bogova i naredio hapsenje svojih generala i potpisao bezuslovnu kapitulaciju, cime je izbegnuta masovna pogibija grckih vojnika pri osvajanju Carstva, koja je bila procenjena na visestruki broj stanovnika svih grckih polisa zajedno."

"posmatranjem to mozemo uociti" - izem ti naucnicki metod
"Vidi se sa slike" da se tezisne linije trougla seku u jednoj tacki. Nemojmo se saliti.



Zenonova greska nije u tome sto je "sve relativno" nego sto nije shvatio da, kao sto sam vec rekao, je vreme neprekidno. Cak i da teorija relativiteta nije tacna (sto ce se vrlo verovatno i pokazati u buducnosti) kretanje se MOZE shvatiti povezivanjem tacaka prostora i vremena. I kretanje NIJE osnovni pojam, nego se definise preko polozaja i vremena.

Cini mi se da moramo da razlikujemo dva slucaja, koji se ovde mesaju i zbog toga cela frka.
Dakle,
Experiment 1 :
Telo putuje ravnomerno iz tacke A u tacku B. Ima brzinu tu i tu. Preci ce put za vreme to i to. Nista lakse, potvrdjeno u praksi.

Experiment 2 :
Telo putuje uvek samo do polovine preostalog puta. Ako mu ovo podje za rukom, onda definitivno nikad ne stize na odrediste, prosto zato sto, ako je prostor kontinuum (mada moze i slabije), uvek postoji tacka "izmedju"

(Jedna prigodna anegdota : svojevremeno, neke moje koleginice otisle kod profe iz analize i pitaju ga sta je to granicna vrednost ili limes, a profa odgovara : "to je kad stignete tamo gde se ne moze".)

U praksi, medjutim, drugi exp. je nemoguc : posto je energija kvantovana, telo ne moze da predje tako mali put koji bi zahtevao energiju manju od najmanjeg moguceg kvanta. Pa zar se ne kaze da i u atomu elektron "skace" sa jedne orbite na drugu, jer ne moze da ima energiju koja bi odgovarala medjustanju?
Ovaj se problem tehnicki zaista prevazilazi granicnim vrednostima ili kako tOwk kaze, redovima.

Ako su vreme i prostor relativni (ne plašim se da će se teorija relativiteta pokazati netačnom, možda će je malo transformisati, proširiti ili čak uprostiti, ali će stvari verovatno ostati manje-više iste), onda kretanje jeste preostali osnovni pojam. Uostalom, set osnovnih pojmova moraš odabrati pre izlaganja, pa se biraju stvari koje su intuitivno bliske svima, što ponekad može biti pogrešno (stvari nisu uvek onakve kakve izgledaju, uzmimo na primer kretanje planeta "na nebu"). U našem svetu malih prostornih brzina, da, kretanje se može SHVATITI povezivanjem tačaka prostora i vremena (tako se i objašnjava slušaocima koje se prvi put uvodi u fiziku), ali ono postoji i kada "zamrznemo frejm" (neprekidnost o kojoj si govorio).

Izvinjavam se zbog pokušaja da se izvučem bez formalnog dokaza da kretanje postoji, ali "paradoks" u "Zenonovom paradoksu" upravo znači da uzimamo da kretanje postoji, iako se u njemu dokazuje da ta očigledna istina nema osnova (eto, iako se izvinjavam, opet ne dajem dokaz...).

A da li neko hoce da objasni u cemu je paradoks?

Pređeni put je uvek manji od ukupnog pređenog puta, a iskustvo nam govori da će se ipak sresti i da će brži preteći drugog. I traži se objašnjenje za to, a tu vreme zaista nije bitno (iako se ti ne slažeš ;), a pročitaj starije poruke za način modernog (19. vek :-) shvatanja tog problema.

Pa nece ako je put uvek manji od ukupnog predjenog puta. Ako je brzina nula onda je put uvek manji a nece se sresti. ako je brina 5m/s onda nije zadovoljne uslov zadatka i sresce se. A ako je uslov zadatka da uvek dodje makar do polovine preostalog puta onda odgovor zavisi od brzine jer ako je npr brzina 5m/s onda ce se oni sresti za t=s/5 (s je duzina puta) a ako je brzina v=e^(-t) oni se nece nikada sresti ako je pocetni put 1m a ispunjen je uslov zadatka da ce uvek doci do preostale polovine puta.

Mislim da je u pitanju BUREK.

Ako se sve posmatra iz tacke A onda se kretanje moze definisati kao promena polozaja u odnosu na A i vremena koje protekne u A. U A je sve "normalno". Druga je stvar to sto to vreme nije isto u A i u posmatranom objektu. Ne postoji razlog uzimanja kretanja za osnovni pojam ispred vremena i prostora jer je i ono isto tako relativno i menja se u zavisnosti od posmatraca (menja se cak i u Njitnovoj fizici, a kamoli u teoriji rel.).

Sto se teorije relativiteta tice, postoji "kretanje" brze od brzine svetlosti - na tom principu rada danasnji kvantni racunari (ne zaboravimo da je vec napravljen kv. rac. koji ume da sabira i oduzima)

Ako se gleda slucaj gdje se uvijek prelazi polovina puta, tijelo nikad nece stici iz tocke A u tocku B. To je istina i teorijski dokazano(beskonacnim djeljenjem sa 2 se dobije beskonacno mali put i ukupan prijedjeni put nikada nece biti jednak pocetnoj udaljenosti) ali to nije nikakav paradoks da mi ne postojimo.
Ljudi kad idu od tocke A do tocke B ne prelaze polovinu puta, nego prelaze cijeli put odjednom. Ili ako bas hoces, prelaze dio puta, pa onda preostali dio puta, a nikako dio puta, pa dio preostalog dijela, pa dio ostatka preostalog dijela...

Uglavnom, dobro si primjetio da tijelo iz tocke A nikad nece stici u tocku B ako uvijek prelazi polovinu puta, ali to nije paradoks da ne postojimo.

Nadam se da ste razumijeli sto sam pokusao reci.

Nije tacno. Ako telo ide recimo brzinom od 5km/h tako ce preci ceo put i sve moguce polovine polovina itd...Za bilo koju polovinu koju izaberes tacno se moze izracunati kada ce telo da je predje. Znaci nije ti tacno da nece nikada stici u tacku B.

Pa bas i nije. Pogresno rezonujes.

A sto bih beskonacno delio sa 2?

E ovo ne mogu da zamislim, da telo predje ceo put a da ne predje polovinu :-)

Prelaze oni sve te delove. Ne znam zasto ne bi. Ajde nadji mi jedan deo koji ne predju ako se recimo krecu konstantnom brzinom.

Pa i nije bas dobro primetio.

Ja ne razumem.

ja mislim da je konacno rijesenje "Teleport".

Mislim da ste previshe zaglumili sa knjizevnom tipizacijom upotrebljenih glagola, isto i empirijskimi metodami i paralelnima svjetovima ... bla bla bla ...

Stvarno dugo se nisam javljao na ovaj post, vechinoma sam ga samo zdeletirao, no sada vidim da neki samo filozofiraju i pishu, neki nemajo pojma sta pishu, no doduse ostali previshe empiriziraju stvar, no i ja nemam pojma sto pishem ako mogu prakticko ocijeniti svoj polozaj - Da bi rjesili ovaj konflikt, da bar malo naznachim:

Ima vishe metoda koje imajo isto konacnu stanje, i sve su teoretski matematicno pravilne, tek onda kad si mozemo predstaviti kakvo bi to pocetno stanje moralo biti ili dali ono uopste postoji u nasem svjetu. Mozda da, a mi toga nismo svjestni.
Znaci bit ovog posta je u stvari paradoks pocetnog i konacnog stanja a ne "puta".
Koliko vidim "put" u ovom paradoksu nije definiran ili uopste ne postoji jer to je samo rjec koju smo mi definirali, da bi bolje znali definirati stvari u nasem svjetu (t,X,Y,Z ...).

Znaci mi sami smo uveli pojam "vremena", ali kako malo bolje gledamo "vreme" i prostor (X,Y,Z) vidimo sledece :
Uvod t kao nove dimenzije nema smisao, jer je verovatnost kao nova dimenzija neodvisna od vremena !

Hm ... Zanima me kako bi bilo zivjeti i privuknosti se na stvarnost u multidimenzijalnom svjetu sa mogucnostju mjenjanja svih parametra, mozda bi onda bili bolje svjestni suodvisnosti/neodvisnosti parametra medzu parametrima.

Kad to shvatimo, mislim da cemo biti individualisti, svako ce kreirati svoj svjet i biti uspjesan .... No cijena koju placamo "svakodnevno" je stvarno prevelika i odgovornost za nesto takvo isto.
.
.
.

Srki, hvala ti sto si me isprdo ali ocito nisi skuzio u cemu je ovdje stvar!

U prvom postu je bilo opisano da tijelo prelazi polovinu puta, pa onda polovinu polovine(1/4), pa polovinu polovine od polovine(1/8)... a ne da se giba konstantnom brzinom. Svi znamo da tijelo koje se krece konstantnom brzinom dolazi iz tocke A u tocku B za vrijeme t=s/v.

Ja sam htjeo potvrditi da je tocna pretpostavka da ce se tijelo koje prelazi polovinu puta, pa polovinu preostalog dijela puta jako pribliziti tocki B ali nikad nece doci u nju. Ovdje se ne govori o brzini ni vremenu nego samo o prelazenju puta.

Ali sam htjeo i reci kako to nije dokaz da mi ne postojimo. Kao sto si rekao, ljudi, pa i sve drugo na svijetu, se gibaju nekom brzinom i samim time ako se negdje upute moraju doci tamo gdje su se uputili.

A molim te mi reci da si iz mog posta zakljucio da ljudi preskacu ili se teleportiraju preko nekih djelova puta. Normalno je da predju sve tocke puta, mislio sam da svi to razumiju, ali ocito ima jos nekih koji bas ne razumiju!

[Ovu poruku je menjao skajfes dana 04.11.2003. u 11:24 GMT]

Paaa... recimo da neko minijaturno telo (manje od elektrona, recimo) krene da prelazi 1 m... pa 0.5 m, pa 0.25 m, pa 0.125 m... i tako dalje... posle odredjenog broja iteracija stici ce do velicina koje su "plankove" - na primer, razdaljina izmedju dva elektronska nivoa... i nece moci da bude nigde "izmedju" vec ce moci da predje tacno odredjenu duzinu - sa elektronskog nivoa 1 na nivo 2 - izmedju ne postoji :) ili bar - izmedju ne moze da se bude :)

Dakle.. slobodno mozemo reci da se "teleportovalo" iz tacke A u tacku B... da stvar bude interesantnija, od tacke A do tacke B moze da ima beskonacno mnogo puteva - stavise, moze da se nadje okolo tacke B negde - bilo gde (u nekoj statistickog granici), i ne postoji funkcija predvidjanja gde ce se tacno naci (sto ga vise lociras manje ces znati neke druge osobine) - svaki put to moze biti drugacije.

Greska je posmatrati svet oko sebe kao potpuno diskretan (matematicki) - ispod odredjenih velicina vladaju drugi zakoni u kojima se vidi da je svet "kvantizovan" na male piskele :)

Izvini, nisam mislio da se sprdam sa tobom, samo sam hteo da ne zvucim previse ozbiljno i da bude malo duhovitija poruka. Ali da nisam skuzio u cemu je problem to je tacno a takodje je tacno i da jos uvek nisam skuzio sta si hteo reci.

Pa ne mora konstantnom, moze da se krece i eksponencijalnom, i sa ravnomernim ubrzanjem/usporenjem ili bilo kakvom brzinom. Nije izricito receno da ne moze sto znaci da moze. A cim moze znaci da ti zakljucak nije dobar.

Pa ovo mi nije jasno. Telo koje se npr. krece po ovom zakonu v=a*t^2 (da ne bi bilo konstantno) ce preci taj put a takodje je ispunjen i uslov zadatka da prelazi prvo jednu polovinu, pa polovinu sledece polovine, pa polovinu sledece itd...Tako da i dalje ne razumem zasto telo ne bi preslo taj put. To sve zavisi kako se krece.

Pa znam, ali tacno resenje je da se ne moze odrediti da li ce preci put. Znaci ne razumem odakle ti to da ce se samo beskonacno pribliziti tacki B a da je nece preci?!? I dalje cekam nekakav dokaz i i dalje mislim da nisi dobro rezonovao.

E, ovako, prvo pozdrav za sve.
U postavci je receno da tacka A (ruka, noga, glava) prelazi tacno pola puta do tacke B pa se zaustavi (brzina je stoga nebitna), jel tako? Zatim tacka B (ruka, noga, glava) prelazi tacno pola puta do tacke A pa se i ona zaustavi, graficki:

A----------------B 1m
A--------B 0.5m
A----B 0.25m
A--B 0.125m

Uvecajmo ovaj poslednji segmenat 4x, sta dobijamo

A----------------B 0.125m

nastavimo sa uslovom

A--------B 0.0625m
A----B 0.03125m
A--B 0.015625m

da ponovimo uvecanje jos kojih 100000000x i da ne zaboravimo da je to uvecanje od 1m. (nastaviti dok ne poludite)

mislim da je komplikovaniji zahtev da se objasni ova recenica

Ja lazem...

pozdrav

Ne, nigde nije rekao da se zaustavi. A i na koliko vremena se zaustavi? I kako se zaustavlja? Ravnomerno usporava ili trenutno? Bilo bi dobro kada bi se tacno postavio zadatak i onda kada bi neko napisao u cemu je paradoks jer ja ne razumem u cemu je paradoks.

Mislim da nisi dobro predstavio problem u glavi. Zenonov paradoks je vezan za predjeni put, ne za brzinu.

Ako telo svaki sledeci put predje duplo manju razdaljinu, nezavisno od brzine ili vremena - matematicki se jako lako dokazuje da nikad nece doci do tacke N.

Dakle - Pretpostavimo da je put 1 metar, a telo prvo predje pola metra...

0.5 m
0.75 m
0.875 m
0.9375 m
0.96875 m

i tako dalje... dakle, tom strategijom nikad ne bi stiglo do 1 m, vec bi uvek bilo "blizu" i "sve blize" lim(put->1m) ali nikad 1m ili vise od 1m... ovo stoji samo ako zazmurimo na jedno oko, i prostor prestavimo kao potpuno diskretizovan, bez minimalnih granica ("piskela" kako neko rece) - sto u fizickom svetu nije slucaj, kao sto sam vec rekao. U fizickom svetu, kada telo bude prelazilo put koji je blizak razdaljini izmedju 2 elektronska nivoa, nece moci da predje "pola" tog puta - vec samo jedan ceo deo (kvant).

Problem je sto "paradoks" i nije paradoks - kada bi telo imalo konstantnu brzinu, predjeni put uopste nije ni bitan - jer ce ga preci pre ili kasnije.


Sto se tice recenice "ja lazem" - to je vrlo prosto - u formalnom sistemu istina koji se sastoji od 'T' i 'NE T' (tacno i netacno) za recenicu "ja lazem" nije moguce imati tacan odgovor.

Pa ne znam ja kako tacno glasi Zenonov paradoks ali ovo sto su ovde pisali ne zvuci mi kao paradoks.

Pa da, ali opet ne vidim u cemu je tu paradoks. Je l' paradoks u tome sto bi nesto trebalo da nam govori kao da ce doci do tacke N a ono ipak ne dolazi? Jos uvek ne razumem paradoks :(

Ma ja sam samo hteo da kazem da je recenica Ja lazem formalno veci paradoks nego Zenonov problem. A i sama matematika se pored teorije skupova zasniva i na odnosima medju istim ('T', 'NE T', 'i', 'ili', '=>i '<=>').

aj sad pozdrav do sutra...

@Ivan Dimković:


Tvrdiš da ne postoji prazan prostor, pa zatim "ako postoji", a onda kažeš ovo gore (čime tvrdiš da ima praznog prostora), i to sve u jednom postu. Ujedno tvrdiš da to ne predstavlja frejmove (u drugoj temi Vrijeme) jer u stvari nema praznog prostora! :))
Recimo nek je to i tačno, iako i T i NT ne mogu u isto vrijeme biti tačni, ali gle ovo:
Sad svaka je čestica za sebe, a čine zajedno neki predmet (npr. lopticu). Sad mi pričamo kako loptica ne može da pređe ni malo puta jer je , a ti počneš da pričaš o pojedinačnim elementarnim česticama. Pa onda, da li jedna (od svih čestica loptice) pređe brže na drugi energetski nivo , od druge, koja pređe sporije, ili da li to rade u istom trenutku t₁?

Pa jeste, Srki, u tome je paradoks. Naime, iskustvo nam govori da moramo preći polovinu puta da bismo prešli ceo put. Takođe, iskustvo nam govori da ćemo na taj način zaista preći ceo put. Ipak, javlja se „matematička nedoumica“ (srž ovog paradoksa) da je pređeni put na tako označen uvek manji od ukupno pređenog puta.

Sad, matematika ovaj problem rešava aksiomom (ili pretpostavkom) neprekidnosti, iz koje se dalje dobijaju svi poznati rezultati iz teorije redova i graničnih vrednosti. Druga mogućnost za razrešenje paradoksa je ona kojoj Ivan pribegava, a to je diskretizacija prostora.

U svakom slučaju, bez dodatnih „pretpostavki“ o našem prostoru se ne može „čistom logikom“ izvući zaključak zašto je sve ovako kako jeste, i u tome leži paradoks. Ne zaboravite da intelekt ljudi od pre 2500 godina nije bio manji, već samo je bilo manje znanja. Uostalom, integracijom se bavio još Arhimed, a ona je formalizovana tek 2000 godina kasnije.

Pa da, to i meni govori iskustvo ali mi ne govori obrnuto: da ako zelim da predjem pola puta da moram preci ceo put. Tako ja i dalje ne razumem o cemu se radi i kako to moze iskustvo da vam govori da cemo preci ceo put?

Ok, nadao sam se da me nećeš uhvatiti na odnosu ekvivalencija/implikacija :-)

Ipak, ako ovde ne prihvataš „iskustvo“ (pošto ga možda stvarno i nemamo), onda je potrebno koristiti složeniji i originalan Zenonov paradoks, koji je u suštini ekvivalentan sa „mojim“ pojednostavljenjem, samo nam nedostaje iskustvo za potvrdu.

Znači, kornjača je npr. 100m ispred Ahila, a Ahil ide 10 puta brže od kornjače. On će prvo preći pola puta, pa zatim polovinu od preostale polovine, itd. Ovo znači da on nikada neće stići kornjaču, zato što će pređeni put biti uvek manji od ukupnog rastojanja. (to je paradoksalna Zenonova izjava, valjda). Ovde se stvari usložnjavaju utoliko što se i kornjača kreće, te ona za svakih „pola“ puta pobegne još malo, a to dodatno potvrđuje pretpostavku da je pređeni put uvek manji (tj. ma koliko da Ahil pređe, kornjača mu uvek još „malo izmiče“).

Čak, moguće je da se u originalu ne radi o polovini, već o „celom putu“ ali u trenutku posmatranja (i mislim da je ovako :-). Tj. Ahil prvo pređe svih 100m, a za to vreme kornjača izmakne 10m, pa on pređe 10m, a kornjača izmakne 1m, itd. Ovo se lako svede na moj problem vezivanjem referentnog sistema za kornjaču (tj. ona miruje), i usklađivanjem Ahilove „brzine“, tako da on prelazi valjda 10/11 od celog puta u svakom koraku (umesto jedne polovine).

Matematički ekvivalentan problem, a brzina i dalje ne igra ulogu (tj. ona se može uvesti, a njeno postojanje je i sporio Zenon [tj. postojanje kretanja], ali nije neophodna, pošto paradoks postoji i bez nje): bitno je samo to da on prelazi deo puta i da se rastojanje između njega i kornjače smanjuje.

Ma!
:P

Mada sada kada si lepo objasnio paradoks mi je jasniji. Sta da radim kada u mg-u nisi morao da ostajes na filozofiji jer i kada pola odeljenja nema redar kaze svi su tu ili prijavi samo jednog a ova blentava nista ne provaljuje. Ili ako bas hoce nekog da prijavi uzme i prijavljuje Darka Panceva, Dragisu Binica itd. a ova nista ne provaljuje :-) Tako da posto sam bio samo par puta na filozofiji nisam znao kako tacno glasi Zenonov paradoks :-) I posle neko kaze da mg nije najlaksa skola! Skroz sam izgubio radne navike u njoj.

Pa ovde je samo problem koliko traje "svaki korak". Ako se on eksponencijalno smanjuje onda ce i vreme za svaki sledeci korak biti manje i tezice nuli a ako "svaki korak" traje neko isto vreme onda zaista Ahil nikada nece stici kornjacu. Znaci ne mora da znaci da ce je stici ako ne uzimamo brzinu u obzir i zato brzina ima bitnu ulogu jer kako mozemo govoriti o paradoksu da ce Ahil stici kornjacu ako je mozda zaista nece stici.
A i ako Zenon pominje brzinu (Ahil je 10 puta brzi od kornjace) kako onda nema uticaja?

I naravno taj paradoks vazi samo ako vazi aksioma neprekidnosti za koju nam iskustvo kaze da vazi. (Mozda nekome iskustvo ne govori tako)

Da, opet uzimaš aksiomu neprekidnosti, samo u slučaju vremena ne bi li izveo zaključak da će „vreme za svaki sledeći korak biti manje i težiće nuli“. U svakom slučaju, na bilo koju stranu da se potegne za rešenjem problema, dolazi se ili do aksiome neprekidnosti (kao jednog rešenja problema) ili do podele na „piksele“. U makrosvetu pretpostavka neprekidnosti sasvim fino radi i za vreme i za put, ali to nam istovremeno govori da bez takve pretpostavke nije moguće odgovoriti na Zenonovo pitanje.

Čak i u slučaju da svaki od tih perioda traje isto, i dalje će je stići (tj. tačno će je dostići). To nam ne govori iskustvo tako jasno, ali je ipak tako. Naime, ako ima beskonačno vremena na raspolaganju, na ovaj način će Ahil preći 1000/9 metara, a kornjača 100/9. Razlika je upravo 900/9=100m, koji su činili početno rastojanje. Naravno, ovde dolazimo do pojma beskonačnog vremena, koji je malo sumnjiv bar za „iskustveno znanje“, i zato se u originalu podrazumeva i vreme koje podleže istim uticajima kao i put (tj. smanjuje se, i takođe poštuje aksiomu neprekidnosti).


Uostalom, sva rasprava na ovu temu treba da bude dovoljna da opravda naziv „paradoks“ :-)

A naše postojanje nema nikakve veze sa ovom temom, pošto se ono može dovesti u pitanje i mnogo trivijalnijim metodima ;-)

Da, ali u stvarnosti on nekad laze nekad govori istinu tako da sada laze (sada kada kaze "ja lazem") jer nije tacno da laze vec da ima promenljiv stav prema iskrenosti.

Samo da prijavim slaganje sa I. Dimkovicem. Moj prethodni post je na to zeleo da ukaze, ne tako jasno. Dakle cestica cini kvantni skok i ne moze da predje unapred zadati put, osim ako se on ne poklopi sasvim slucajno sa onim sto se odigralo. Hajzenbergova relacija neodredjenosti : znas gde sam ne znas ko sam i obrnuto. To sto matematicki to "postoji" je posledica usvajanja aktuelne beskonacnosti. QED.

Kad vec toliko pominjete taj prelazak elektrona...
Ako kazete da elektron preskace sa jedne orbite na drugu i to radi tako da se ni u jednom trenutku ne nalazi nigde izmedju, to onda znaci da on nestane sa jednog mesta i pojavi se na drugom. Da li se ovo desava trenutno ili ne?
Ako se desava trenutno to bi znacilo da se kretao brzinom vecom od svetlosti (mozda ne bas kretao ali premestio u svakom slucaju).
Ako se ne desava trenutno, gde se nalazi taj elektron u vremenu izmedju nestanka u jednoj orbiti i pojavljivanja u drugoj? I jos sta ako neko pomeri malko jezgro atoma za vreme odsustva elektrona? Kako ce on "znati" da ne sme da se pojavi tamo gde je "planirao"?

Pa'j ovako. To da elektron "skace" je samo pokusaj naseg govornog jezika, izgradjenog na sasvim drugim iskustvima, da objasni sta se desava u atomu i sub-atomskom nivou. Taj pokusaj nije uvek najuspesniji, ali nauka nekako mora "reci" sta se dogadja i pristaje na takve kompromise.
Inace, cestice se stalno rastavljaju i sastavljaju, stvarajuci oblak virtuelnih cestica oko sebe, koje mogu ciniti interakciju sa okolinom. Tako da je skoro nemoguce reci da cestica postoji kontinuirano, ali mozemo reci da je elektron ima najvecu verovatnocu da se nalazi u onom stanju koje je prepoznatljivo.

Trenutno se sigurno ne desava; sto se tice toga da kad skoci, da mu neko izmakne "bazu", to opet resava princip neodredjenosti.

To nije tacno.

Pa u kvantnoj mehanici se ne kaze da elektron prelazi trenutno sa jedne razdaljine na drugu. Ali da bi recimo elektron isao kruzno oko atoma vodonika on mora biti na tacno odredjenim razdaljinama ali on ne prelazi trenutno sa jedne razdaljine na drugu. To je jedna od poznatih zabluda o kvantnoj mehanici.

Ali cak i da jeste tako, mi mozemo elektron da ispalimo u vakum, u svemir i tu nema zasto da skakuce sa razdaljine na razdaljinu i onda tada posmatramo ovaj paradoks.

Mada za sada nije utvrdjeno da li je i prostor sastavljen u kvantima ali u svakom slucaju to nema veze sa tim sto elektron dobija ili gubi energiju u kvantima.

[Ovu poruku je menjao srki dana 19.10.2003. u 21:55 GMT]

Jednostavno ne postoji nacin da se dokaze da je prostor kontinuum, onako kao u matematici. Dakle, dokazi da elektron prelazi "sve" tacke izmedju A i B! Nema cestice koja ima manje od 3 dimenzije, a kamoli one koja ima 0, tj. tacka.

Ali obratite paznju da ni u matemaici 1/x nikada nije nula! Mi samo kazemo da to "tezi" nuli kada x "tezi" beskonacnosti. S' obzirom da u prirodi nema beskonacnosti, a veliko je pitanje da li i nula postoji, ovakvo nesto moze samo u matematici. Da ne govorimo o onome gde limes stize, sto se prihvata kao rezultat. Kao sto vec rekoh, limes je kad stignete tamo gde se ne moze.

Sto se tice toga da li elektron "skace" ili ne, ajd' sad da vidim pametnjakovica koji moze da natera elektron da postoji izmedju dve orbite, i tu iskulira?

Hm, a kako se to dokazuje u matematici?

Koliko ja znam, tvrđenje te prirode (tj. konkretno tvrđenje sa tim značenjem) u matematici nazivamo „aksiomom“, ili, za šire narodne mase, „pretpostavkom“. A kao što svi znamo, ove vrste tvrđenja ne dokazujemo (i ne zbog toga što je eto to „tačno“, nego zato što smo pomoću njih uspeli da izgradimo neprotivrečan sistem; ako je zamenimo, i opet dobijemo takav sistem, i to možemo uzeti kao osnovnu pretpostavku u matematici, tj. nekoj njenoj oblasti).


Postoje i (brojni) slučajevi gde ipak stignemo „tamo gde se ne može“. Npr. će uglavnom biti „dostignuto“ ako je „a“ konačan koeficijent.

Moraćeš malo preciznije da formulišeš svoj stav, kako ne bismo izbacili svu teoriju redova i graničnih vrednosti samo zbog ovoga, inače propade i čitava fizika (integrali, izvodi i diferencijali, diferencijalne jednačine...).

A kako to možemo znati?
Ustvari, foton bi, zbog relativističke kontrakcije, morao da ima samo dve dimenzije (a samo jednu, kada se propusti kroz polarizator).

@tOwk
Nisam rekao da se to dokazuje u matematici, naravno. To je aksioma supremuma koja cini polje realnih brojeva drugacijim od racionalnih. Doduse, dodaje i nesto vrlo interesantno a to je neprebrojivost. Mozda sam nesretno sklopio recenicu, ali sam mislio da mozda u prirodi prostor nije kontinualan kao u matematici, ono "dokaze" se odnosilo samo na fiziku, a "kao u matematici" na to da je prostor kontinuum.

To sto smo naucili da racunamo sa limesima, to ne znaci da oni postoje :)
Limes koji si naveo, sa tacke gledista analize, nije nista drugaciji od onog 1/x; to sto tacka kojoj on tezi postoji, ne znaci da ce je dostici. Mi sve vreme i pricamo o takvom nekom slucaju, gde je sve naizgled regularno, a opet nesto "smrdi".

Dakle matematicki, granicna vrednost je ona kojoj "proces" moze prici proizvoljno blizu, i nema druge takve. Ali ovi su procesi prebrojive duzine, a za to niko nema vremena :) A "moj stav" bas nije moj, vec (to ces sigurno znati) prof. D. Arandjelovica sa MF; a i nije neki "stav", vise dosetka. Tako, ni Ahil ni kornjaca nikada ne stizu na cilj, jer ne mogu "tamo gde se ne moze". Bez obzira sto je to tamo veoma blizu. Matematicki opis je trivijalan, jer i put i vreme teze nuli, pa se to sve lepo sabere i dobije da ce posle koraka oboje stici na cilj. Hm, ali koji je to mudrijas presao toliko koraka, makar ziveo i 100 godina?; ma sta se ja stis'o, moze da ima godina koliko i univerzum pa opet sipak :)

Istina da nebi mogao da dokazes neistinitost BILO KOJE MATEMATICKE AKSIOME ali samo ako bi se drzao matematickih pravila. Mena ako pitate sve aksiome zatvaraju jedan odredjeni krug tj. jedna drugu stite i podrzavaju (zato bi se sve srusile ako bi jedna pala).Ali upotrebljavajuci neku drugu nama (za sada) nepoznatu granu matematike, ili bilo koje druge nauke ko zna do kakvog bi se rijesenja doslo...

Nije tacno, aksiome su nezavisne. Ako neka aksioma moze da se izvede iz drugih onda je to teorema. Svaka aksioma je za sebe posebna i ako izbacimo jednu ne vidim zasto bi ostale pale?!?

Istina je da ne bi (a ne nebi) mogao da dokazes sve teoreme bilo kojeg formalnog matematickog sistema bez uvodjenja "dodatnih pravila" koja nisu definisana unutar tog sistema - to je granica kompletnosti matematike, tj. ona je zavek "nekompletna" :)

Aksiome su esencija naseg iskustva i intuitivnog poimanja.
Formalno matematicki, one ne da se ne dovode u pitanje nego je prakticno nebitno sta one tvrde. Naravno, nama je bitno, jer zelimo da teorija koju stvaramo bude upotrebljiva. Takodje, nikada se ne dokazuju, jer to je upravo poenta - one su osnovne (pret)postavke neke teorije.

Ako nisam bio dovoljno nejasan :), evo kako to funkcionise :
1. Uzmes neke iskaze i proglasis ih aksiomama (moraju biti neprotivrecne i nezavisne)
2. Aksiome i sve sto mozes da izvedes iz njih zoves teorijom.
3. Ako postoji nesto sto ce da zadovolji aksiome, to zoves modelom te teorije.

Dakle nikakve pretpostavke da to postoji, cak i matematicki a kamoli stvarno.
Tako se matematika brani od realnosti i pitanja tipa : a otkud ti znas da postoji beskonacno, zasto je 1+1 bas 2, i tsl.

Postojimo!

Procitao sam odgovore do neke polovine ali dalje nisam mogao.
Da kazem kratko svoje misljenje:

Matematicki nikad se nece dodirnuti Mika i Zika ili A i B

Zato je ODGOVOR da POSTOJIMO!

Dodirnut cemo se jer postojimo.
Tu smo da bi prekrsili zakone matematike i fizike.

Citajuci, odgovor sam video tek kod Skajfes-a, cini mi se.

Sto se tice ovog tvog paradoksa. Meni se cini da ce se oni itekako taknut zbog toga sto imaju svoju sirinu(volumen). Dakle, oni se nebi takli, jedino kad bi oni oni bili tocke, beskonacno male, ili recimo to ovako, kad bi se svakim skraćivanjem puta, i oni sami smanjili, ili ako ih promatras ko neke krugove, kad bi se polumjer tih krugova prepolovio. To je moje misljenje, a sad da cujem vasa.

Pročitao sam sve prethodne postove i izveo jedan zaključak, koliko je ispravan prosudite sami.

Ja ću postaviti jedno pitanje pa ako bi neko mogao da mi odgovori: ukoliko je nemoguće doći do kraja puta od tačke A do tačke B zato što se svaki put mora preći polovina puta, kako je telo uspelo da pređe inicijalnu polovinu puta?

Evo mog odgovora: Ako pretpostavimo da telo prelazi put od A do B polovinu po polovinu ono onda nikada neće ni započeti kretanje jer će uvek postojati polovina polovine. Kako onda objasniti tačku u kojoj je telo trenutno? Prosto - telo stoji tamo gde je (naizgled) nemoguće stojati - na graničnoj vrednosti (limesu). Ono je dakle u tačci koja graniči sistem, ali sama nije u njemu tako da za nju ne važe pravila sistema i ako želi da dođe do druge granične vrednosti (koja se u ovom slučaju zove Žika ;)) do nje neće dolaziti koristeći se pravilima sistema koja za nju ne važe. Stoga je dokazivati vansistemsku stvar pravilima koja ne važe za nju ne samo nemoguće već i besmisleno.

Paradoks je u samoj postavci problema, 'ako predje pola, pa jos pola...'. Znaci nije cilj preci ukupnu zadanu duzinu nego pola preostale. Kako govoriti o tome da zbir predjenih polovina cini zadanu razdaljinu ako nam je cilj da u svakom sledecem koraku predjemo pola. Onda mozemo samo govoriti o onome sto je ivan rekao o najmanjim velicinama (koje su nam u ovom trenutku poznate) i dostizanju te blizine kada je (u ovom trenutku) nemoguce predtpostaviti manju.

Predpostavka se moze itekako matematicki opovrgnuti. Naime, posmatrajmo predjene puteve kao jedan red koji je sastavljen od clanova geometriske progresije: 1/2, 1/4, 1/8... Suma tog reda kada broj clanova tezi beskonacnosti jeste 1. Mi smo ovde do sada posmatrali samo konacan broj polovina predjenog puta ali kada bi tako nastavili i dalje njih bi bilo beskonacno mnogo i moramo u skladu sa time i posmatrati problem. Znaci ovaj red konvergira jedinici i znaci ta je ta tacka presla ceo svoj put.

Sto se tice fizickog smisla ovog problema mi ovde uzimamo sve krace i krace intervale vremena koje posmatramo pa ne mozemo ni ocekivati normalne pojave.Kada bi uzimali jednake intervale vremena telo bi itekako stiglo do svog cilja.

Mislim da si pogresio. Kada bismo uzimali jednake intervale vremena (u svakom koraku je potrebno isto vreme da prodje) onda telo nikad ne bi preslo put. Samo kada uzimamo intervale vremena koji se smanjuju onda je moguce da telo predje put.

Da li je 1+1=2?
Da nije 1+1=3?

O.K. evo jos jedan mali paradoksic. BTW, jel moze iko da mi objasni kako ovo?

a²-a²=a²-a²
a*(a-a)=(a-a)*(a+a)
a=((a-a)*(a+a))/(a-a)
a=a+a
a=2a
1=2

??

Pa kako su mene učili u školi:

a * (a - a) = (a - a) * (a + a)
a * 0 = 0 * 2a
0 = 0

A ne možeš ni deliti sa (a - a) zato što taj izraz uvek (koliko ja znam) ima vrednost 0 a deljenje sa nulom nije definisano.

Da, palo mi je to na pamet da sa nulom nema smisla deliti ali nisam bio siguran da li moze na to da se vadi... zar to nije samo jos jedna interpretacija? Onda dobijemo 0=1=2 :)

Ma, prihvatam kao konacno... ;)

Pored matematike, fizike, filozofije i ostalih nauka - Bitno je samo to -
da li tacka A zeli da prelazi svaku sledecu polovinu do tacke B, ili da predje citav put...

Pravo pitanje je : Da li mi znamo sta ce se dogoditi ?
Lako je objasniti KAKO, ne i ZASTO.........



Hvala, hvala

Nisam se ni ja vadio na to (mada to ni nije vađenje već pravilo) već sam ti samo napomenuo pošto si to koristio u rešenju.



Nije, pošto tvoje rešenje ne valja zato što nisi poštovao pravila. Konačno rešenje je samo 0=0. Osim ako neko ne dokaže suprotno ;).

U potpunosti se slazem sa tobom.Jedan staro-grcki filozof je tvrdio da kretanja u prirodi uopste nema,i da je to samo iluzija stvorena od strane nasih cula i nasim umom.On je tvrdijo da bi tacka A stigla u tacku B mora da predje 1/2 puta,a da bi stigla na 1/2 puta mora da predje 1/4 i tako dalje...znaci ona se i ne pomice sa svog mesta.

Nije bio u pravu...!!!???Tako tvrde...

Mslim da dva tela(recimo elektrona)nemogu uopste da se dodirnu,do utiska dodira koje stvaraju nasa cula mislim da dolazi usled delovanja elektromagnetnih sila medju njima koje prave izvestan otpor.

O beskonacnoj blizini dva tela se jos moze govoriti.
Ako uzmemo da je TACKA sastavni deo svega u prirodi i da je nedeljiva onda je minimalno rastojanje dva tela ograniceno samom velicinom TACKE.

Sve to mozda...tako ja mislim,mozda neko misli drukcije...???

Nisam bas procitao sve postove, ali da i ja napisem par ideja o problemu.

Kao prvo, mnogo toga zavisi od cinjenica da li problem posmatramo s fizickog ili matematickog aspekta. Dalje, cini mi se da do "vrcenja u krug" dolazi upravo zato sto nismo definisali pocetne uslove, tj. karakteristike prostora, vremena i brzine. Dakle, problem nije moguce prikazati samo kao matematicki model, bez osvrta na iskustvena desavanja.

Dalje, pitanje je sta mi hocemo? Hocemo li da dvije "materijalne tacke" tj dva "skupa uredjenih n-torki" priblizimo i "preslikamo" (ne ad literam) jednu na drugu? U tom smislu jeste dovoljna aksioma neprekidnosti. Ona medjutim, moze i da dovede u zabludu tipa "postoji li kretanje", buduci da nije moguce preci od A do B, ukoliko izmedju njih ima beskonacno mnogo tacaka.

Dakle, postoje dva stava, a izmedju njih se trebamo odluciti za jedan.

1.Rjesavamo problem matematickim putem (prostor je beskonacno djeljiv, vazi aksioma neprekidnosti)
2.Rjesavamo problem s fizickog aspekta ("pikseli", kvanti i "najmanje moguce vrijednosti")

Ovu podjelu opet treba uslovno shvatiti.

Ipak, moj stav je da problemu treba vise prici s strane fizike (ali nikako bez osvrta na matematiku!).
Definisimo prvo prostor. U skladu s nasim intuitivnim shvatanjima, prostor je beskonacno djeljiv, i uvijek postoji "tacka izmedju tacke". Ovakvo objasnjenje pak, ne nudi rjesenje, jer izaziva problem "stizanja gdje se doci ne moze". Necu reci nista novo, kad kazem da je Zenonov paradoks jednostavno pitanje da li postoji i (ako postoji) sta je kretanje. Elegantno (ali ne i bez mana) rjesenje nudi teorija kvantovanog prostora, tj. podjela na "pixele".

Pojednostavicu problem (mozda ga i zakomplikovati): koja tacka je sledeca do tacke A (npr. na proizvoljnoj pravoj)? Tesko je reci... ;-)

Jer, zbog cega treba razdvojiti matematicki od fizickog modela? Prost primjer daje konstrukcija duzine sqrt(2). Taj broj nije racionalan, i po tome cemo tesko osjeci "dio kolaca" koji ima pomenutu zapreminu... :-) Medjutim, konstrukcijom dobijamo liniju cija je duzina (empirijski) stalna, i nikuda se ne "pomjera", dok matematicke formule za pomenuti broj daju samo aproksimacije. Problem nastaje pri prelazu x --> oo (besk.) "Istina" je da niko ne zna sta se tada desava i koji je to broj, s kojeg prelazimo na beskonacnost. Dakle, javlja se i problem aproksimacije...

Kako adekvatno rijesiti probem? Tako sto cemo postaviti teoriju s najmanje (po mogucnosti bez) internih nesuglasica, pa cak i po cijenu toga sto bi se to moglo cijeniti s nasim intuitivnim spoznajama. Stoga, model u kome cestice prelaze "kvante" prostora, tako sto dobijaju kvante energije meni licno (!) djeluje koncizniji u odnosu na "analoski" pristup aksiome neprekidnosti.

E sad, da ponovim, pitanje vise nije da li mat. tacka A moze preci 1 metar ("pola putanje po pola putanje") vec da li A vrsi ikakvo kretanje. Jer, ako tacku C smjestimo na sredinu duzi AB i kazemo da za neko vrijeme t tijelo (ili mat. tacka) prelazi duzinu AC (tj. pola duzi) mi smo vec pretpostavili da je od neke tacke A moguce stici do neke tacke C. Dakle, vrtimo se u krug. Kazemo da je nemoguce preci neko rastojanje AB, a pri tome pokazujemo da je moguce preci AC (1/2 putanje). Zasto onda tacka B ne bi mogla biti srediste duzi AD (2m) pa da na taj nacin posmatramo problem...To je, dijelom u sali receno. Osnovno pitanje jeste stoga, kako "pokrenuti" tacku (ili tijelo) iz A u bilo kom pravcu...

To bi otprilike bilo to.

PS:Ovo je samo niz sugestija, nikako i "rjesenje" problema, tako sa vas molim da me ne hvatate za svaku rijec, ukoliko nesto nisam dovoljno dobro definisao

PPS: Moderatore molim za sredjivanje ovo malo matematickih izraza buduci da sam "ja novi vodje"

Dakle, ovde se radi o jednom od četiri Zenonova paradoksa poznatom pod imenom "dihotomija". Prvo, to nije paradoks postojanja već kretanja. Drugo, ne traži se isključivo "nematematičko" rešenje, već bilo kakvo korektno rešenje. Zenona su na kraju ubili, ne zato što niko nije umeo problem da reši "nematematički", već zato što niko nije uspeo da reši problem nikako. Ovaj paradoks je ekvivalentan jednom drugom Zenonovom paradoksu koji se zove "Ahil i kornjača".


Neka se Ahil i kornjača nalaze na različitim mestima i neka Ahil trči prema kornjači, a kornjača neka se kreće u istom pravcu i smeru kao Ahil, ali mnogo sporije od njega. Kada Ahil bude stigao na mesto gde je bila kornjača na početku trke (recimo da je to tačka A₀), kornjača će se već malo pomeriti i stići u tačku A₁. No, kada Ahil bude stigao u tačku A₁, kornjača će se za to vreme malo pomeriti i stići u tačku A₂. Produžavajući ovakvo rasuđivanje zaključujemo da Ahil nikada ne dostiže kornjaču.


Zenon nije tražio da mu neko dokaže da Ahil dostiže kornjaču (što je lako), već da neko nađe grešku u navedenom rasuđivanju. U suprotnom bismo imali dokaz da Ahil dostiže kornjaču, kao i dokaz da Ahil ne dostiže kornjaču, dakle naš način rasuđivanja bi bio protivrečan. Zenonovi paradoksi spadaju u najstarije poznate susrete ljudi sa pojmom beskonačnosti na evropskom tlu. Stoga je bilo potrebno objasniti Zenonove paradokse (naći greške u tim zaključivanjima) ne bi li se rasvetlili putevi rezonovanja koji vode preko beskonačnosti, to jest ne bi li se ispitalo koji su načini hodanja po beskonačnosti bezbedni.

Pretpostavimo da je do stizanja Ahila u tačku A₀ poteklo vreme T₀, i da je od njegovog stizanja u tačku A_n-1 do njegovog stizanja u tačku A_n proteklo vreme T_n. Mi možemo zaključiti da Ahil ne stuže kornjaču posle vremena T₀, kao ni posle vremena T₀+T₁, kao ni posle vremena T₀+T₁+T₂, i tako dalje. Me]utim, tvrditi da Ahil nikada ne dostie kornjaču je isto što i tvrditi da je on ne dostiže posle vremena T za ma koje trajanje T. Problem je u tome što mi za dato T ne možemo da zaključimo da postoji n za koje je T₀+T₁+...+T_n>=T. Drugim rečima, ukupnost beskonačno mnogo trajanja ne mora biti neograničeno trajanje.

O beskonacnoj blizini dva tela se jos moze govoriti.
Ako uzmemo da je TACKA sastavni deo svega u prirodi i da je nedeljiva onda je minimalno rastojanje dva tela ograniceno samom velicinom TACKE.

Sa ovim se u potpunosti slazem.
21.12 je najkraci dan u godini.
21=datum /12= mesec u godini

Recimo da je TACKA nevidljiva , zar vas 2112 ne asocira na godinu bez dana i meseci!? Da li uopste postojim u 2112? Ne!

Ima jedan mali problem. Između svake dve tačke imaš beskonačno mnogo tačaka. Ne postoji niz od tri uzastopne tačke. Recimo, između tačaka x i y na realnoj pravoj nalazi se tačka (x+y)/2: Na isti način možeš naći tačku između te tačke i tačke x itd.

Tvojim shvatanjem prostora bavi se jedan drugi Zenonov paradoks koji se zove "stadion".

rekose mnogi pre mene, pa da kazem i ja:

NEMA PARADOKSA, NEMA KONTRDIKCIJE
ako ti uspes da u svakom narednom trenutku predjes polovinu puta koji si preso u prethodnom nikad i neces da stignes.
ono sto se desava u praksi je da u jednom trenutku predjes pola puta i u drugom drugu polovinu...onda mozes da je scepas za sisu za 2 sekunde.
jel vidis ti ovde negde kontradikciju? ja ne ?!

Ja mislil da znam sta je pisac htio reci.

Ovo "Da li mi uopste postojimo?", ponekad mi se desi da pomislim da sve sto se desava oko mene postoji samo zbog mene , t.j. da ako ga npr. ne vidim ono uopste i ne postoji, kao ne primjer ovaj iduci odgovor u stilu "Momak, kako bi bilo da posjetis psihiatra?". sve je to samo slucaj okolnosti, kombinacija impulsa u mom mozgu, svi samo postojite zato sto sam vas ja u ovom trenutku zamislio.

Pozdrav vam.

PS: Ovo o Ivici i Perici je poznatije u stilu "Da li ce zec ikad stici kornjacu?"

Mislim da nisi u toku. Već sam obrazložio da ovo nije paradoks postojanja već kretanja i to samo prividan . Paradoksa u stvari i nema.

Jel citao neko "Autostoperski vodic kro galaksiju" ? Npr. Broj stanovnika u Vasioni: Da kazemo da je vasiona beskonacna. Ako je beskonacna ima i beskonacno mnogo svetova. Ali posto nisu svi svetovi naseljeni ima konacan broj naseljenih svetova. Ako pokusamo da izracunamo broj stanovnika na osnovu ovoga: KOnacan broj naseljenih svetova\Beskonacan broj svetova (citava vasiona). Svaki konacan broj podeljen sa beskonacnim dae broj toliko priblizan nuli da je potpuno zanemarljiv. Znaci da je broj stanovnika cele vasione = 0 ?? Znaci da su svi ljudi koje vidimo oko sebe proizvod nase maste.

Ali opet, ovde postoji greska ali ja nisam siguran da li je to stvarno greska ili ne. U stvari siguran sam da Beskonacno ne mozeda se podeli na dva dela i da da jedan konacan i j edan beskonacan deo. Ali sve jedno odgovara onoj pretpostavci gore
(mi samo mislimo da drugi ljudi postoje.....)

Ne bih bio tako siguran. Na primer: broj prirodnih brojeva je beskonačan (za svako n koje mi daš, reći ću ti n+1 koje je veće od njega). Ali zato, ako podelimo prirodne brojeve na 1 i na sve ostale veće od 1, dobili smo dva dela, jedan je konačan (ima samo jedan element, jedinicu) a drugi je beskonačan (ima beskonačno mnogo elemenata, što se može potvrditi preslikavanjem ).

f

Zapravo greska je u tome koji je broj svetova konacan a koji beskonacan (naravno uz tu pretpostavku da je svemir beskonacan) - naseljenih ili nenaseljenih. Moglo je da bude konacno mnogo nenaseljenih a beskonacno naseljenih. Zapravo bilo bi beskonacno i jednih i drugih.

E ovako, za pocetak jedno pitanje.
Dali ti mislis sad kad kucas na tastaturi da je ti u stvari dodirujes?
Oodgovor je ne. U atomskom svijetu postoje neke sile koje se zovu medjumolekularne sile. Da bi to slikovitije objasnio dacu primjer gasa i metala. U gasu su one slabije pa se atomi gasa mogu sabijati dok su metalu mnogostruko jace pa ga je nemoguce na isti nacin sabijati. Tako da kad ti nesto dodirujes samo mislis da to dodirujes, jer su te sile toliko jake da ti nedaju da skroz pridjes. Ustvari si mu jako puno prisao, tamo gdje djeluju te medjumolekularne sile. A tvoja cula to registruju kao dodir.
E sad paradox onog pitanja je u tome sto djelenjem prostora dodjes do rastojanja manjih od rastojanja na kojima djeluju te sile i nista vise. To je to. Makroskopski gledano to je dodir, mikroskopski gledano nije.

Heh... pa i te sile izmedju tastera i tvog prsta se sastoje od elementarnih cestica i razmene istih ;)

izvini ali zasto bismo posmatrali njihova dva najbliza atoma kad njih i ne pokrecu njihova dva najbliza atoma vec noge? Trebalo bi da posmatamo njihove centre tezista za kretanje a njihove najblize tacke da odredimo rastojanje, right?

ovo bi vise bilo pobijanje Zenonovog paradoksa ali ajde...

zamislite ovo...
marko se nalazi deset metara od janka. i onda krene prema njemu i opali ga sakom u glavu... janko pada na zemlju od siline udarca...
ako neko uspije uvjerit janka da ga ovaj nije dotakao, ja cu do kraja zivota bit najveci zenonov pobornik...

p.s. ima bit da zenonu i nije bas islo sa zenama, kad je na ovo trosio dane...

Ako ih posmatramo kao m. tacke. sustret sa rastojanjem =0 bio bi situacija u kojoj dve materijalne tacke zauzimaju isti prostor u istom vremenu.
Realno to je najmanje rastojanje izmedju dva molekula u kome je zbir svih medjumolekulskih sila jednak nuli, i ako se to rastojanje uzme kao =0 mozda bi se i sreli.

Cak i bez vremena u racunici, ukoliko je prostor diskretan, nema beskonacnog
broja delova puta.

=======Imamo Peru i Miku | Pera u tacki A, Mika u tacki B.
Rastojanje tacaka A i B je TACNO 1m.
Mika predje TACNO jednu polovinu puta, sada je rastojanje TACNO 0.5
========
joj ima puno odgovora ja samo ogovoaram na pocetno pitanje ostalo nisam citao.


sta ako na pola puta od pere do mike postavimo cedu.
znaci da ce pri prvom prolasku pera doci do cede.
isto tako taj ceda moze biti i mika izmedju cede i pere.
tu je kraj price.
ako uopste mozes preci bilo kakvo rastojanje,znaci kretati se, moze sve
ovde polovinu mozes i celo.

a onda mogu i reci ovako, znaci mika predje tacno polovinu puta, onda neka predje i drugu polovinu.
to je to kod pere je
ili
mika predje ceo put i kod pere je
to je to

inace zenon je car

Moze li bilo koji broj podeljen sa 2 da daje tacno 0? - naravno da ne...

Oni bi se dodirnuli samo kada bi rastojanje izmedju njih bilo tacno 0, a to je nemoguce!

0/2 = 0

Boki, znas li ti sta je diskretan prostor?
A moze i ovako: da li si nekada nesto dodirnuo? (vidim tastaturu jesi)..
Pa ajmo ovako, ako tvoj prst prelazi po pola puta do tastature.. kako si otkucao poruku?

Moj prst prelazi ceo put odjednom, ili dve polovine celog puta, ili cetri cetvrtine celog puta... a ne pola od celog, pa pola od polovine celog puta itd...

0/2 jeste 0, ali kako smo dosli do te nule?!

Svi prelaze "ceo put" od jednom, poenta je u sledecem, kada polovina puta
postaje nula? Pa onda kada izmedju onoga ko se krece i cilja nema vise sta
da se prelazi. Dakle, ja mislim da je Zenonova mozgalica odlicno pitanje za
diskusiju o diskretnosti prostora.
A sto se nule tice: "Nista i nista su nista, crva nije ni bilo".

pa pazi..
Pera Nikada ne moze da prelazi po pola puta da bi stigao do Mike..
MOzda moze prva dva-tri puta,posle je rastojanje mnogo manje i nikako ne moze da "ubode" tacno polovinu...Tako je i sa tastaturom

Ovo je kao prica o skupu realnih brojeva. Izmedju svaka 2 realna broja ima beskonacno mnogo realnih brojeva, ma koliko oni blizu bili. To nama nije logicno jer mi se u praksi susrecemo sa diskretnim (prirodnim ili racionalnim-razlomcima) brojevima. Paradoksa nema jer je duzina 1metar kontinualna (realni broj) a ljudski mozak operise sa diskretnim (racionalnim) brojevima

Mika moze dodirnuti Peru, samo ako to zeli.

Naime, ako se bilo koja tacka(ili Mika) krece konstantnom brzinom,
ona ce u drugu tacku, koja miruje, stici za vrijeme jednako kolicniku
njihove razdaljine i brzine tacke koja se krece. To je, kao sto se zna,
zakon ravnomjernog kretanja, t=s/v.

Ako Mika, iz nekog razloga, ne zeli da dodje
do Pere, tada on zapravo zeli da se krece beskonacno dugo, ili
da se uopste ne krece. Ako se Mika ne krece, nepobitno je da
nece stici do Pere. Ali, ako Mika ipak zeli da se krece beskonacno
dugo, i da nikad ne stigne do Pere, on ce beskonacno dugo morati
da smanjuje svoju brzinu. Jasno je da Mika nije u stanju da to ucini.

Osim ako ne smatra da je smisao zivota ne stici do Pere.

Znaci, dok god se brzina smanjuje, i vrijeme kretanja se povecava,
tako da vazi: t=s/v; t tezi u beskonacnost, slijedi da v tezi nuli.

Posto ljudi bas nisu u stanju jasno pojmiti beskonacnost, mi imamo
beskonacno mnogo vremena da se ubijamo, gubeci vrijeme na ovako
beznacajne stvari. Na kraju krajeva, koga je briga da li ce Mika
ikad stici do Pere.

PAMET:
ako racunamo najblizu tacku atoma koji se nalazi na najblizoj tacki tela onda se nikada nece dodirnuti ,
ali ako racunamo razdaljinu Pere i Mike iz sredisnjeg dela atoma koji se nalazi na najdaljoj tacki tela onda ce se dodirnuti jer atom ima svoj obim i velicinu . jednom se moraju dodirnuti ako se deli sa dva .

Zenon je bio anticki filozof, ocigledno ne dovoljno upucen u fiziku, jer svi znamo za formulu v=s/t... kasnije ce aristotel dati kritiku zenonovim aporijama (paradoksima)...Zenonova greska bila je u tome sto on nije delio vreme i prostor istovremeno...

Nije uopšte stvar u neupućenosti. Niko "upućeniji" u to vreme nije rešio njegov paradoks, zbog čega su ga ubili. Oni koji tako misle nisu upućeni u postavku problema.

Dakle, Zenon je smatrao da je našao jedan dokaz da Ahil ne stiže kornjaču u kome nije našao nikakvu grešku. Nije stvar u tome da se pronađe neki drugi dokaz da Ahil stiže kornjaču, već da se utvrdi u čemu je greška u dokazu koji je ponudio Zenon.

Iz cele Zenonove priče zapravo ne sledi da Ahil ne stiže kornjaču, već da se tu radi o jednom beskonačnom zaključivanju koje nema kraja i u kome se nikada ne dolazi zaključka da Ahil stiže kornjaču. Međutim, to je samo nedostatak tog pokušaja da se izvede zaključak da Ahil stiže kornjaču. Međutim, to nikako ne znači da je on zaista ne stiže, niti da se takav zaključak ne može izvesti na neki drugi način.

Nije problem u tome sto nikad nece stici, veci je problem to sto ne moze po zenonu
ni da zapocne kretanje. Profesor filozofije mi je rekao da je problem u tome sto nezavisno posmatramo prostor, tj. da je problem u tome sto je kretanje uslovljeno vremenom koje je zenon zanemario.

Licno ne volim preterana filozofiranja kao sto je npr ovo. Po meni je ovo nevidjena glupost (kao i jos mnoge zbog kojih su pojedinci postale "baje"). Zasto bi prelazio pola pa pola od pola i tako dalje? Kada predje jednom pola neka predje jos jednom istu tu duzinu i kraj. v=s/t sve objasnjava bez imalo dileme...
Ne pamtim poimenice te istorijske licnosti ali i ona glupost "ako odapnemo strelu, strela stoji, a Zemlja se okrece pa tako stize do cilja..." ili kako vec bese. Kako li nekome uopste padne napamet ovako nesto?
Ako se malo vise potrudim mozda uskoro i ja odvalim neku ovakvu glupost pa ce sutra moji i vasi preci ovako diskutovati o meni :)))
Pozdrav

Mislim da je tvoja konstatacije, da ne kazem, glupa... I ne bi trebalo da spustas tako nisko ljude koji su extra inteligentni, jer samo takvi mogu da shvate stvari koje vecina ne moze...

Jer, sad cu ja, na primer, da kazem: "A zasto ne predje ceo put odjednom?!"

Tema je jako dobra...moje misljenje je da ako tako ide, nikada nece stici, jer uvek ima jos pola puta pred sobom, ma koliko to iznosilo...

A onaj...mislim, zasto bi uopste bacao strelu...heeeeeeee... totalno bezveze...

Evo onda je pitam ovako: Covek ima dva automobila, seo je da vozi jedan od ta dva, a zasto nije uzeo onaj drugi... Odlicna tema za diskutovanje, zar ne?!

Ne kazem ja da on nije bio inteligentan ali i takvim ljudima se desi da nesto lupe. Kada je to rekao Zenon onda je to extra mudrost,a da smo to rekli ti ili ja to bi bilo smesno.

Ne znam kada je ziveo Zenon i na kom nivou su tada bile matematika i fizika, ali na osnovu bezbroj svakodnevnih primera je trebao da vidi da ta teorija ne pije vodu.

Nisam procitao sve sto je napisano u ovoj temi pa ako ponovim nesto ne zamerite. Elem po toj teoriji nista se ne bi pomeralo.

Pazi ovako. Pucas iz pistolja (puske, nebitno) u nesto i metak ne da ce da stigne do cilja nego ce neretko da ga probije i nastavi dalje.

Mada i po toj teoriji uvek moze da se stigne do cilja. Evo prost primer. Imamo tacke A, B i C gde je tacka B izmedju A i C, aj da kazemo da je na polovini rastojanja AC. Ako krenemo od tacke A do tacke B po ovoj teoriji nikada necemo stici. Medjutim mi cemo da uradimo malu “prevaru” i reci cemo da smo krenuli iz A do C. Do C opet necemo stici, ali to nam i nije cilj, vec tacka B. Pa kako je tacka B na pola puta do tacke C, a po teoriji pola puta prelazimo bez ikakve dileme, to cemo do B stici bez problema. Dakle samo treba da kazemo da nam je cilj neka druga, udaljenija tacka i stizemo do cilja.

To su poznati Zenonovi paradoksi. Mogu se pronaci i u uzbeniku iz Filozofije za 4. razred gimnazije. U pomenutom paradoksu Zenon nije uzeo u obzir vreme, a sa njim se "igrao".
On je u svim svoj paradoksima tvrdio da kretanje ne postoji. Navodno ih ima oko 40, ali je najpoznatija 4. Svi su razreseni jos u tom vremenu. Sada mogu nekome da posluze kao fazon i nista vise. Ali imao je zanimljivo vidjenje stvari. Trebalo se i toga setiti/ :)

Za Nervoznu, ako je uopshte around u poslednje vreme: o kakvom dokazivanju aksioma ti prichash? Matematika je iskljuchivo deduktivna nauka. Ranije su se stvari u matematici radile slobodnije, ali od kraja devetnaestog veka pa nadalje, Vajershtras, Dedekind, Hilbert, Gedel, Frege, Rasel, Loran i drugi velikani su dali svoj doiprinos u 'postrozavanju' sistema matematickog znanja. I zna se: prave se pretpostavke-aksiomi, na osnovu kojih se, shto je strozhije moguce, formulishu druga tvrdjenja, dokazuju sredsvima vec dokazanim u okviru tog sistema i tako nadalje, dakle deduktivno zakljuchivanje. Sve matematichke discipline tako funkcionishu. Dokazivanje ili opovrgavanje matematichkih aksioma je nemoguce, jer ne postoji aparat kojim bi rukovao pri takvim pokushajima; taj aparat su upravo aksiomi. I geometrija Lobachevskog i Euklidova jesu protivurechne, jer imaju jedan aksiom protivurechan, pa su onda i svaka dva tvrdjenja u daljem koja se oslanjaju na po razlichit od ta dva aksioma opet protivurechna.

Pozdrav,
Zarko

Sve se svodi na pitanje: šta je kretanje?

Kad bi u beskonačnom prostoru imali samo jedno telo onda bi ono bilo nepokretno - zato što je kretanje po definiciji promena položaja u odnosu na NEŠTO. To NEŠTO ne može biti prostor koji je beskonačan na sve strane jer se položaj tela ne može promeniti u odnosu na takav prostor - pa kretanje u odnosu na prostor ne postoji!
Koliko god tela postoji u prostoru - ni jedno se u odnosu na prostor ne kreće, ali kreću se međusobno.
Iz ovog sledi zaključak da je mirovanje apsolutno, a kretanje relativno.
Prema tome svako telo i miruje i kreće se ili kako Kant kaže to je jedinstvo suprotnosti.
Tačka po definiciji nema dimenziju, ili moglo bi se reći - ona je toliko mala da ne postoji!
Ali ona i ne treba da ima dimenziju da bi označila neko mesto. A mesto postoji to znamo.
Dakle tačka i postoji i ne postoji! I to je jedinstvo suprotnosti.
Ili još gore: i NEPOSTOJANJE postoji, pa onda radi simetrije trebalo bi da bude i: POSTOJANJE ne postoji !
Koliko god je neshvatljivo postojanje nepostojanja toliko je neshvatljiva i beskonačnost, ali njihova "interakcija" daje kao rezultat shvatljive pojave. Na primer svaka dužina nam je shvatljiva pojava iako je sastavljena od beskonačno mnogo tačaka (ili nam se samo čini da je shvatamo?)
Da li i relativno kretanje postoji u onom smislu kako ga mi poimamo ili je to nestajanje materije na mestu postojanja i postajanje na susednom mestu?
Da li postoji materija u onom smislu kako je mi zamišljamo ili je to deo prostora sa određenim svojstvima?
Da li je relativno kretanje promena svojstava prostora u susednim tačkama i vraćanje prvobitnih svojstava u prethodnim tačkama?
Ako je to kretanje onda nije teško odgovoriti na Zenonov paradoks, ali da li je kretanje takva pojava ili nije?
Nastajanje i nestajanje je smena postojanja i nepostojanja pa ima smisla vezati naslov ove teme za pojam kretanja.

Da li su POSTOJANJE I NEPOSTOJANJE u ovom Univerzumu dva ravnopravna partnera čija smena čini SVE? (možda bi valjalo otvoriti temu s ovim naslovom)
(i NIŠTA spada u SVE!)

Lako je postavljati pitanja !!!

"Mislim, dakle postojim!"

Dane, muguce je 'misaono postaviti' 3-d koordinatni sistem u tom beskonachnom prostoru - to bi uchinilo da mozhesh zabelezhiti kretanje bilo koje tachke u odnosu na nj.

samitami

Mogli bismo zamisliti, ali ni u mislima ne bi znali gde mu je koordinatni početak i kako je orijentisan. Ipak bi ga morali vezati za neko telo koje se ne kreće akcelerativno. Međutim, opet bi svako kretanje bilo relativno na primer između nekog tela i tog koordinatnog sistema, ali nije problem u konstatovanju relativnog kretanja. Problem je u tome što nijedan koordinatni sistem nije dominantan odnosno nije reprezentant prostora jer se kretanje može konstatovati u odnosu na bilo koji i bilo kakav inercijalni koordinatni sistem, a u odnosu na prostor ne može.
Svaki koordinatni sistem ima neku favorizovanu tačku (na pr. koordinatni početak), a u prostoru su sve tačke ravnopravne.
Nego nešto mi pade napamet kad je u pitanju vrsta koordinatnih sistema. Zamislimo u prostoru četiri tačke koje nisu u istoj ravni, između kojih nema relativnog kretanja i koje se ne kreću akcelerativno - to bi recimo mogla biti četiri vrha neke nepravilne piramide i to tako nepravilne da je svih šest rastojanja između vrhova različito.
Meni se čini, (ali ne znam!) da bi se položaj bilo koje tačke u prostoru mogao jednoznačno odrediti pomoću četiri koordinate koje bi određivale udaljenost te tačke od vrhova piramide i to bez negativnih vrednosti tih udaljenosti.
Možda je ovo još nekom palo napamet, pa bih zamolio matematičare da kažu svoje mišljenje o ovom.

_{[Ovu poruku je menjao galet@world dana 15.07.2006. u 01:30 GMT+1]}

Za pochetak, uzmesh bilo koju tachku i tu fiksirash koordinatni pochetak. I isto i sa koordinantim osama. Hocu da kazhem da je moguce 'konstatovati', kako ti kazhesh, kretanje u odnosu na prostor obogacen koordinantnim sistemom.

A shto se drugog dela tvog posta tiche, posle malo krajnje povrshnog razmishljanja tvoja zamisao mi se chini u redu, samo bih te ispravio u delu gde pominjesh 'negativne vrednosti udaljenosti'. Takvo neshto ne postoji, ni kod 'prirodne', a ni kod matematichke udaljenosti.

Bojim se da nije tako. Po ovoj tvojoj tvrdnji sve što se kreće u odnosu na takav koordinatni sistem - kreće se i u odnosu na tako "obogaćen" prostor.
Ali ako neko drugi obogati prostor na isti način ne znajući da već postoji taj koordinatni sistem, onda i on može da kaže da sve što se kreće u odnosu na njegov koordinatni sistem keće se i u odnosu na prostor.
Koji od ta dva koordinatna sistema je merodavan za konstatovanje kretanja u odnosu na prostor ako između koordinatnih početaka tih dvaju sistema postoji relativno ravnomerno kretanje?

Što se tiče "mog" koordinatnog sistema (a možda i nije moj!), možda se nismo razumeli. Mene upravo i iritira to što se u pravouglom koordinatnom sistemu nekim udaljenostima mora pripisati negativna vrednost t. j. moraju se označavati negativnim brojevima da bi se odredilo neko mesto u odnosu na taj koordinatni sistem, iako udaljenosti po svojoj prirodi ne mogu biti negativne. Prihvatam tvoju primedbu koja se ustvari odnosi na neadekvatno izražavanje. Trebalo je umesto reči "udaljenosti" da upotrebim reč "koordinate".

Kod "mog" koordinatnog sistema svaka tačka se može definisati sa četiri koordinate od kojih ni jedna nema negativnu vrednost.

Da, a i obrnuto, zapravo poenta je ne posmatrati k. sistem i sam prostor odvojeno, slichno kao kada se pod euklidskim vektorskim prostorom podrazumeva prostor opskrbljen onom poznatom funkcijom d, tzv. rastojanjem ili metrikom.
Chini mi se da se ne mozhemo slozhiti oko ovog pitanja jer stvari posmatramo drugachije, ja matematichki, a ti, da li fizichki ili kako vec, ne znam kako tvoja stanovishta da nazovem.




Ne vidim gde je tu problem...Oba su sasvim merodavna, tu nikakve protivurechnosti nema. Ako se tachka krece spram jednog od njih, kretace se i spram drugog, to je upravo moja ideja. Ali, vazho je reci, ti k. sistemi su fiksirani, dakle izmedju svih sistema koje bi evenutalno 'izgradio' ne postoji relativno ravnomerno kretanje, oni miruju jedan spram drugog. Ne vidim zashto bi se kretali, zashto bi tako postavljali stvari?



Mislim da si u pravu, nije tvoj, jer je takav koordinatni sistem ekvivalentan Descartesovom 3-d koordinatnom sistemu: izaberesh bilo koju od te chetiri tachke kao k. pochetak, i svaka od preostale tri onda sa tim pochetkom odredjuje po jednu pravu, linearno nezavisnu spram druge dve (pod uslovima koje si sam postavio). Tako da mislim da se time ne bi izbeglo da pojedine apscise, ordinate i aplikate imaju i negativne vrednosti. Ako nisam u pravu, nadam se da ce me neko ispraviti.

Pozdrav,
Zarko

Da, ali različitim brzinama, ili ako se ne kreće spram jedog kreće se spram drugog.

Jedostavno zato što je to moguće. A ako je to moguće onda nije moguće konstatovati kretanje u odnosu na prostor nego samo relativno kretanje u odnosu na neke proizvoljne koordinatne sisteme.

Ja stvari posmatram sa logičkog stanovišta (bar se nadam da je tako), a ono ne sme da bude u suprotnosti sa matematičkim.

Ako ga tako napraviš onda si u pravu, ali...u tom slučaju imaš samo tri koordinate, pa moraš imati i negativne vrednosti koordinata da bi jednoznačno odredio svako mesto u odnosu na taj sistem. Neće te tu niko ispraviti jer si prešao sa pravouglog na kosougli koordinatni sistem, međutim, "mom" (opet ga prisvajam!) koordinatnom sistemu ne trebaju nikakve prave odnosno osovine od kojih se meri odstojanje do neke tačke. Dovoljne su samo te četiri tačke!
Od njih se meri odnosno iskazuje odstojanje do neke tačke u prostoru. Interesantno je to da nema potrebe za negativnim koordinatama kao kod Dekartovog koordinatnog sistema. Skup od takve četiri koordinate određuje jednoznačno SVAKU tačku u bilo kom smeru samo sa pozitivnim vrednostima tih koordinata.

To što si napisao je tačno, ali mislim da to nije ideja koju je galet@world dao.

Ja sam razumeo da se tu radi o uopštenju sledeće 2D ideje na 3D slučaj:



Dakle, tačka bi bila jedinstveno određena trojkom pri čemu su tačke nekolinearne a






i analogno za 3D...



ko ima "oko sokolovo" uspeće da uoči 4 crvene i jednu zelenu tačku a možda i jednu malu zlatnu sferu

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 18.07.2006. u 18:04 GMT+1]}

Hvala Uranijumu na vizuelnoj predstavi, to je pojasnilo stvari. Takva ideja je sasvim u redu, a i svrsishodna je ukoliko vam je cilj da nemate negativnih koordinata, a ne da imate shto manje koordinata. Hteo sam reci da bi takav koordinatni sistem bio tek drugachija formulacija poznatog uopshtenja Descartesovog, dakle pravouglog, 3-d koordinatnog sistema, gde je dovoljno da tri ose budu tek linearno nezavisne, a ne i normalne svaka spram druge dve.



Da pojasnim par stvari: svoje razmishljanje sam nazvao esencijalno matematichkim zato shto sam u ovom problemu misaono napravio (a, kazhu, "matematika se i pravi") koordinatni sistem kakav nam je potreban - kao shto se u, na primer, apstraktnoj algebri, pravi neki bijektivni homomorfizam, tj. izomorfizam, izmedju dve strukture kako bi se pokazalo da su izomorfne. Dakle, ne pravi se neshto drugo nego tachno to shto nam je potrebno u datom trenutku pri reshavanju datog problema. Dakle, napravio bih koordinatni sistem koji je fiksiran u odnosu na prostor, shto je, rekao bih, matematichki moguce (u matematici kretanje nije kljuchno), ali fizichki ne jer tu postoji problem: ako je to prazan beskonachan prostor, kako ishta tu fiksirati? Nema tachaka, nema nijednog referentnog tela, nemamo zashta zakachiti taj koordinatni sistem. Tako da je tu, rekao bih, raskorak medju nashim nachinima razmishljanja, jer sam ja, iako ne josh 'profesionalni' matematichar, vec pomalo 'profesionalno deformisan'.

Pozdrav,
Zarko

Dobro si razumeo i dobro ilustrovao.
Šaljem prikaz koordinata u pozitivnom koordinatnom sistemu u nešto drukčijem obliku.

@ galet@world:

Ostaje da razmotrimo još jedan detalj.

Ispostavilo se da ti baš insistiraš da tačke ne smeju biti temena nekog pravilnog tetraedra jer bi to navodno ugrozilo jedinstvenost reprezentacije. Ja ne vidim zašto bi to bilo tako - naprotiv - mislim da mogu da dokažem da će sve lepo raditi i ako su bilo koje četiri nekoplanarne tačke.

[att_img]

Možda nije loše primetiti i to da će takav pks _{(pozitivni koordinatni sistem)} imati jednu nezgodnu osobinu - postojaće kontinuum mnogo četvorki kojima neće odgovarati ni jedna tačka u prostoru.

Standardni sferni koordinatni sistem se može preraditi tako da se u njemu upotrebljavaju isključivo nenegativne mere uglova (a imali bismo i jednu koordinatu manje). E sad - možda je u praksi ipak lakše meriti razdaljinu nego uglove - pa bi (ako je to tačno) to mogla da bude prednost tvog pks.

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 19.07.2006. u 19:21 GMT+1]}

Ja nisam matematičar, ali valjda mi zbog toga nije zabranjeno nevešto razmišljanje o problemima iz tog domena. Drago mi je da si se uključio jer si tu sigurno mnogo veštiji od mene.
Ako imaš pravilnu piramidu onda postoje četiri tačke na nekoj sferi (kojoj se centar poklapa sa težištem piramide) kojima su koordinate jednake. Svaka tačka na sferi je ipak jedinstveno određena, ali ne zbog vrednosti koordinata nego zbog naziva tih koordinata - što je potpuno u skladu sa tvojom tvrdnjom.
Međutim, ako piramida nije pravilna nego onakva kakvu predlažem, onda se ne može desiti da neka tačka ima sve koordinate jednake po vrednosti kao neka druga - ili možda grešim?
To je ono zbog čega ja insistiram na nepravilnom tetraedru. I to je ono što bi bilo dobro da dokažeš. Ja to ne umem, ali mi se čini da je tako.

Treća koordinata u ravni i četvrta koordinata u prostoru služe da od moguća dva položaja tačke odrede jedan t. j. dve koordinate u ravni odnosno tri u prostoru ne određuju jedinstveno neku tačku.
Treća koordinata u ravni i četvrta koordinata u prostoru su već određene preostalim koordinatama i one mogu imati samo dve vrednosti - svaka druga vrednost, naravno, ne određuje ni jednu tačku i nije odgovarajuća koordinata.
Moglo bi se reći da treća odnosno četvrta koordinata zamenjuju znak minus.
Reci mi šta misliš da li bi GPS sistem trebalo da radi uvažavajući ovaj koordinatni sistem.

I na kraju još nešto - da nismo možda zaboravili kako se zove ova tema?

_{[Ovu poruku je menjao galet@world dana 19.07.2006. u 21:30 GMT+1]}

Ako su ključne tačke upravo temena pravilnog tetraedra ivice , onda su koordinate tih temena redom:






e sad pretpostavljam da postoji neki (meta)fizički razlog zbog kojeg smatraš da to nije zadovoljavajuće. Koliko shvatam ti ne bi želeo da praviš bilo kakvu distinkciju među pomenutim tačkama ili se u stvari pribojavaš da u realnoj situaciji (sa pravilnim tetraedrom) fizički ne bi bila izvodljiva identifikacija - koja je koja od tih tačaka...
Nadam se da sam nešto pogrešno shvatio, jer u protivnom taj zahtev bi imao fatalne posledice po celu ideju

Kod pravilnog tetraedra nije moguća identifikacija vrhova kao kod "pravouglog tetraedra" sa različitim distancama među vrhovima. (Ovde sam stavio navodne znakove zato što ne znam da li u matematici postoji takav termin).
Ako označimo vrhove takvog tetraedra sa A, B, C, D onda se na primer tačka A može definisati ovako:

AB ┴ AC
AB ┴ AD
AC ┴ AD

Ostale tačke mogu se naprimer definisati ovako:
AB = r, AC = 2r, AD = 3r

To isto ne možemo da uradimo za pravilni tetraedar pa se "pribojavam" da on nije pogodan pks jer su možda(?) zbog toga moguće poteškoće.

Ja mislim da si ti sam sebi ,vec u postavci pitanja,dao odgovor.Rekao si da uvek prelazi polovinu preostalog puta.
Kolika god ta polovina preostalog puta bila velika,ona je opet polovina ostatka puta do kraja.

P.S. a sta bi bilo da nisi rekao polovina nego...?

P.S.S OVO JE VISE FILOZOFIJA,NEGO MATEMATIKA,ILI SE JA MOZDA NE RAZUMEM NI U JEDNO.Sto je samo po sebi:AKSIOM.

Nisam bio u stanju procitati citavu temu, tako da postoji sansa da je neko prije mene vec naveo ovakav nacin razmisljanja:

Zasto ne uzeti da je prostor kvantiziran (odnosno da postoji granica koliko neka stvar/cestica moze biti mala), u tom slucaju bi kad tad dosli do udaljenosti koja je npr. manja od najmanje cestice sto postoji (up quark naprimjer) , te da se ne moze vise popoloviti.


_{[Ovu poruku je menjao sbanjac dana 21.07.2006. u 00:33 GMT+1]}

Paradoks je do te mere 'vulgaran' da se ova tema razvukla u cetiri pune godine (a sada ulazi i u petu).Dakle,paradoks je Tacan ako radimo sa beskonacnim vrednostima rastojanja.Medjutim ako vrednost rastojanja zaokruzimo onda je paradoks netacan.Nas jeproblem taj sto nismo u svojim glavama razumeli sta je to beskonacnost.U stvari,beskonacnost je ta koja stvara najveci problem-ali samo nama.Jer,ajde ukapirajte ovo:koliki je univerzum? Ako neko kaze:beskonacan,ja trazim objasnjenje:gde se on siri ako je beskonacan? Ako taj neko kaze:siri se u beskonacnosti,ja pitam: na sta to lici,jer ni meni niti njemu nije jasno sta je to.Lako je reci: beskonacno i ubedjen sam da sto se svemira tice taj pojam postoji (u stvari i nisam bas siguran,jer cemo mozda nekad otkriti nesto sto nema veze sa danasnjim rezonovanjem) i da se svemir siri u ,recimo,drugom svemiru a taj drugi u trecem i tako redom...Treba to i dokazati,ali ne putem raznih formulica koje nam nista drugo ne govore sem da matematika to dopusta.Ja pitam kada ce ljudski razum to dozvoliti?Ili je i ljudska glupost beskonacna,jos uvek?:)Dakle,paradoks o kome pricamo je jos jedna igra naseg uma,jer ne shvatamo sta je to beskonacnost u matematici,pre svega.Verujem da gospodin koji je postavio ovu temu sada uziva u izlivima nasih mudrosti udobno leskareci pored svoje devojke koju nezno miluje (matematicki-ne dodirujuci je) i razmislja kako ce je odvesti u krevet i kako ga sutra niko ne moze optuziti za SILOVANJE,jer,zaboga ,to je matematicki NEMOGUCE!:))))

Nisam pratio temu od pocetka ako je neko ovo rekao sorry,ali problem je u postavci zadatka put se moze deliti ali to nema nikave veze sa kretanjem.Kada ti hodas da li ti pravis korak od 1m pa od 0.5 m ili su ti koraci iste duzine?

Druze, pogledaj ranije poruke...i ne lupetaj!
poz

evo sta ja mislim. Nista na svijetu se ne dodiruje samo djeluje jedno na drugo. Ako se moja dva prsta dodiruju atomi se sigurno ne dodiruju nego reaguju jedni na druge. Ako se dva atoma dodirnu onda je neki proces formiranja spojeva. Sad da zanemarimo je li ovo paradoks ili ne. Samo razmislite, bez matematike i racunanja. Na nivou atoma se bez spajanja ne dodiruju.

ja bi to ovako gledo
(procito sam samo prvu stranicu teme valjda nisam puno odluto od toga sta vi pricate)
ako je prvo s=1 pa s=1/2 pa s=1/4
to se onda moze napisati kao s=1/2n n iz Z
i ako pustimo n da tezi u beskonacno onda ce razlika biti jednaka nuli
s=0;

Jos jedan dokaz koji navodi da je kvantna teorija ispravna tj. da sve postoji u konacno malim delicima. Dakle, pod pretpostavkom da nista ne postoji kao beskonacno malo (vec konacno!) mozemo odmah tvrditi da cemo put od A do B preci (kad-tad) jer cinimo konacno male korake.

Konkretno, kvantna teorija je pocela sa energijom tj. da se energija emituje u "paketicima" (sto je empirijski dokazano nizom eksperimenata) ali se problem rastojanja izmedju dve tacke lako moze svesti na energiju. Npr. ako zamislimo dve materijalne tacke koje relativno miruju (jedna u odnosu na drugu) potrebno je jednu od njih "pokrenuti", dakle, saopstiti joj energiju. Zamislite koliku - konacno malu! Sto povlaci konacno malu brzinu.., mali put (korak).

Medjutim, ovaj problem se javio davno kao cuveni paradoks "Ahila i kornjace", u doba kada nije bilo ni pomisli na kvant.

Danas je situacija drugacija i nije mi jasno zasto ljudi jos uvek sebi postavljaju ovaj problem.

Katastrofa čega ću sve da se načitam.

Kako tacno ovo svodis?

samo nastavi da citas. Odmah posle toga sledi krace objasnjenje.

Nedeljko je neki nacitan. To se odmah prepozna.

Hajde, ovako, napraviš korak od 1m, pa jioš jedan od pola metra, pa još jedan od četvrtine metra, sve u istom pravcu i smeru, svaki korak duplo kraći od ostalih. Kretanje se odvija u porcijama, konačnim koracima. Posle koliko koraka ćeš preći 2m? Kvantna mehanika predviđa prenošenje energije u porcijama, ali te porcije mogu imati bilo koju konačnu veličinu. Ne postoji pozitivna konačna količina takva da nije moguća porcija te veličine. Znači, to ne isključuje mogućnost kretanja u opisanim koracima. E, sad to poveži sa

A sad bih voleo objasnjenje kako je moguce da u praksi rastojanje izmedju Mikinog i Perinog prsta bude 0? Koliko ja znam dve stvari ne mogu da zauzimaju isto mesto u prostoru, a da bi rastojanje izmedju Pere i Mike bilo nula, njihovi vrhovi prstiju moraju da se nalaze na istom mestu u prostoru. Znaci tvoje vidjenje prakse nije ok, a dalje zakljucujemo da deljenjem rastojanja Pera moze da stigne do Mike na nacin koji si ti zamislio...
P.S. Prste sam koristio kao primer zato sto je to pominjano u temi...

Moram da pitam, nisam bas strucan po pitanju fizike: Kako znamo da je prostor u kome zivimo kontinuum? I da li je to uopste dokazivo? A i ovde postoje neki tekstovi koji posmatraju fizicki (cesticni) pristup, a neki matematicki - kretanje "tacke" (za koju bih se zakunuo da ne postoji).

U naukama izuzev matematike se stvari dokazuju u suštini tako što imaš teoriju koja sa većim ili manjim uspehom opisuje eksperimente iz njenog domena. Od dve teorije koje sa istim uspehom opisuju isti skup eksperimenata, bolja je ona koja je jednostavnija. Prihvaćena teorija i postojeći eksperimenti su naše znanje o prirodi. Postojeće teorije tretiraju prostor i vreme kao neprekidne i zato se oni za sada smatraju neprekidnim.

kad kaze da je udaljenos izmedju njih nula znaci da se dodiruju, jer se misli na udaljenost izmedju najblizih tacaka jedne drugoj, u ovom slucaju ako su ruke i prsti ispruzene onda je udaljenost nula kad se dodiruju prsti logicno
stvarno ne znam odakle ta ideja da udaljenost nula znaci da su u istoj tacki

http://sr.wikipedia.org/sr-el/Metrika_%28matematika%29

Treba da razlikuješ udaljenost tačaka od udaljenosti skupova tačaka.



Rastojanje između skupova može biti nula, a da skupovi nemaju nijednu zajedničku tačku. No, fizika je nešto drugo.

Ne znam kako ti je logicno da je udaljenost te dve tacke nula? Mislim ako vec razmisljamo logicno uvek mora, ali mora postojati minimalno rastojanje izmedju te dve tacke... Evo zamisli lenjir. Na onom od 30cm 15cm je sredina. E ajde sad reci mi dve tacke koje se dodiruju na toj sredini?

Nema tu potrebe ni za kakvom visom matematikom. Jednostavno ako predjeno pola puta pa posle toga predjemo jos pola puta preci cemo ceo put. Zapravo zadatak je pogresno postavljen jer deljenjem polovine od polovine odlazimo u beskonacnost,beskonacno malo cemo se pribliziti objektu ali nikada necemo izaci iz te petlje. Matematika je tacna ali nije postavka jer matematicki se put NE RACUNA deljenjem predjene putanje na pola pa te polovine na pola. To je isto kao da ja kazem imam 10 jabuka i hocu da izracunam koliko ce jabuka dobiti svako, ako ih delim na 5 osoba, i onda kazem ok to se racuna ovako 10^2/5 . E pa na prosto to se tako matematicni ne racuna.

A pokretac teme je hteo da se igra filozofijom, ono Da li je Bog svemocan? Ako je odgovor da, sledece je pitanje je Da li onda on moze da stvori kamen koji ni sam ne moze da podigne?Ali to vec nije matematika :)
Pozdrav!

mislim da se na ovo vise treba sa aspekta fizike gledati jer se radi o necemu sto se u praksi moze izvesti i experiment napraviti
i prema tome pogledu 0 znaci da je udaljenost najblizih tacaka nula, zavisi sve s kojeg ugla se gleda i koje nauke

Tako što tačke ne postoje u prirodi. Tačke su apstraktni objekti koji nemaju dužinu, širinu niti visinu.

Isto tako u prirodi ne postoje ni prave, duži, ravni...

Ovo je u suštini ista tema galet@world-a, koja se svodi na shvatanje osnovnog pojma Računa (Calculus-a): odnos između beskonačnih i konačnih veličina.

Matematika se ne bavi prirodom, već se neki prirodni procesi mogu pokušati približno predstaviti pomoću matematičkih modela.

Jezikom računaraca:




_{[Ovu poruku je menjao Cabo dana 01.02.2010. u 15:11 GMT+1]}

Pa onda je stvar jasna :) Matematicki, sve je ok jer imamo granicnu vrednost, a ako je u pitanju fizika, onda ne mozemo ni znati... Tesko da bi iko izveo navedeni eksperiment...

Nisam siguran da će neko to direktno proveravati, ali ako budemo imali bolju teoriju koja je takva, onda će se promeniti shvatanja.

U hemiji je prihvaćena atomistička teorija jer je najbolje opisivala hemijske reakcije, pre nego što su postojali drugi dokazi.

U matematickom (tj. postpuno apstraktnom smislu) ova 2 objekta (tacke, najblize ivice beskonacno malih tacaka...) se NIKADA nece dodirnuti i uvek ce postojati konacan broj kojim ce moci da se opise njihovo (trenutno) rastojanje. U pitanju je klasican beskonacni red. Znaci, u apstraktnom smislu, kada posmatramo samo dve tacke (bez fizicko-materijanih osobina), one se NIKADA nece dodirnuti. Po mom misljenju, nece biti cak ni blizu:)

U fizickom (materijanom, ovozemaljskom) smislu, tacke ce se SIGURNO dodirnuti (!?) jer ce nase tacke (ma koliko sicusne/krupne bile) uvek imati neke fizicke osobine kao sto su masa, elektricitet, gravitacija koje ce svojim privlacnim/odbojnim silama dovesti do onoga sto mi dozivljavamo kao KONTAKT. Mada, sta je kontakt, to tek treba precizno definisati. Da li je kontakt trenutak kada se tacke dovoljno priblize da se nemocnom posmatracu koji gleda golim okom ucini da su se dodirnule ili trenutak interakcija na atomskom nivou - prelaska elektrona iz jednih u druge orbite, ili na nivou nukleusa gde ce delovati opet neke druge (pitanje je da li su druge, smatram da postoji samo jedna sila) kao sto su slaba i jaka nuklearna sila... sve to ipak zavisi od postavke problema koji je ovde veooooma neprecizan - nije cak ni filozofski.

Pravo pitanje ovde je, da li je nas prostor granularan tj da li postoji integralan, dovoljno mali, substituitent univerzuma (bio on materija, energija, i jedno i drugo ili nesto sasvim trece) ili ne? Kada bi znali odgovor na tako fundamentalno pitanje, mnogo bi smo lakse dosli do zakljucka da li je nas najbolji i najmocniji alat - matematika, dovoljno dobar da opise nas univerzum ili nije. Steta je samo to sto ce proci decenije i vekovi shvatimo da nije! Uzbudjenja tek slede...

Pozdrav,
bmcvetic

Zašto vekovi? Već sada je (bar nama matematičarima, ili budućim matematičarima) poznato da su matematički modeli i prirodni objekti dva razna sveta. Zato postoje približna izračunavanja, kakva se recimo vrše metodama Numeričke matematike ili Verovatnoće i statistike, da bi koliko-toliko ublažili jaz između ta dva sveta, ili bar da okvirno kažu koliki je taj jaz.

Na prvoj strani je dat sasvim prihvatljiv odgovor na problem iz teme



No, ipak bih da dam dodatno pojašnjenje.

Trebannajpre razumeti sam problem. Zenonov paradoks tvrdi da teli nikada neće iz jedne tačke preći u drugu, a to dalje znači da kretanje ne može ni počleti i to nije paradoks postojanja, već kretanja, tako da je naslov teme neodgovarajući. Zenon je našao jedno izvođenje nemogućnosti kretanja. Jasno je da je kretanje moguće, tako da u tom izvođenju mora postojati greška. Međutim, niko u to vreme (a ni mnogo posle toga) nije uspevao da nađe tu grešku. Ako celo zaključivanje izvedeno po pravilima logike na koju se oslanjamo, onda ta logika nije dobra, pa kako se onda pouzdati u sva ostala tvrđenja izvedena tom logikom.

Dragi Tata je primetio da nam ovo zaključivanje govori o tome šta će se desiti posle 4s, 6s, 7s, 7,5s,... ali da nam ne daje nikakvu informaciju o tome šta se dešava posle 8s ili više, a to je vreme koje će svakako proteći. Ovo je samo primer u kome je prikazan jedan način na koji se ne može doći do željenog zaključka. Međutim, ako neki zaključak nisam uspeo da izvedem, to ne znači da on nije tačan, a a kraju se upravo takav zaključak izvodi - "Iskaz nije tačan jer se ne može izvesti ovom metodom.". Tu je jedina logička greška. Dakle, nema nikakvog paradoksa.



Pa, šta i ako je prostor diskretan. To i dalje ne znači da matematika nije primenljiva, već samo da treba pronaći drugi matematički model. Matematika je daleko šira od jednog koncepta realnih brojeva.

Matematika je kroz svoje razne faze skoro uvek napredovala i bivala razvijana kako bi sto bolje opisala pojave i novija otkrica iz drugih prirodnih nauka (posebno fizike), tj iz nauka koje bave materijalnim svetom. Primeri recimo Dekartovog geometrijsko-algebarskog aparata, integralnog racuna, ili u novije vreme diskretne strukture... koji su razvijeni pre par vekova i koji su uslovili razvoj industrijskog, a zatim informatickog (naseg) doba pokazuju da matematiku oblikuju potrebe realnog sveta. Same teorije skupova koji mnogi matematicari dozivljavaju kao fundamentalne konstrukcije danasnje matematike su "relativno" mlade i stalno se "nadgradjuju". Da valjaju - ne bi bilo varijacija i svi bi do njih dosli odakle god da krenu :).

U tom smislu ne mozemo biti sigurni da li danas aktuelne teorije skupova (ZFC, von Neumann–Bernays–Gödel, Morse–Kelley...) obuhvataju apsolutno sve kontrukcije koje nam priroda moze ponuditi. Iliti, da li je nase poimanje limitirano konstrukcijama koje nam ne dozvoljavaju da sagledamo apstrakciju iznad nas samih? Misliti da mi kao ograniceni skup atoma imamo potencijal da apstrahujemo sistem koji mozda nismo u stanju da opazimo/shvatimo... na bilo koji nacin je verovatno pogresno.

Teorije skupova su nastale kao pokusaj apsolutne apstrakcije pojmova sa kvantitativnim svojstvima materijanog sveta (relacijama). Sta ako u prirodi ne postoji beskonacno malo rastojanje, beskonacno mala ili velika velicina ili neprebrojiv skup? Sta ako je sve sto ima kvantitativna svojstva u jednom trenutku bilo jedno i nije bilo ni konacno ni beskonacno? Da li smatrate da bi ovakva matematika vazila i u trenutcima pred sam Veliki prasak...bez objekata, bez svojstva, bez relacija.

Ovakve kakve su i u ovom trenutku, teorije skupova zasigurno prevazilaze mnoge potrebe i dobro opisuju nase realne sisteme iako su ponekad nepotrebno kompleksne. Medjutim, kako postoje velike praznine u fizici (kako elementarnoj tako i astro) verujem da ce se matematika, kao alat, menjati u skladu sa buducim potrebama, a uslovljene novim otkricima koja ce uslediti u narednim dekama vekovima, istroija nas uci da to tako obicno biva.

Matematika ne trči za svojim primenama, kao ni fizika niti druge osnovne nauke, jer se u protivnom ne bi došle na ovaj stupanj razvoja. Mnoge danas primenjene oblasti su nastale u vreme kada se nikakva njihova primena nije mogla nazreti.

Matematika ovde ne rešava problem - ona ga opisuje na osnovu manifestacije
kretanja u prostoru i poređenja tog kretanja sa nekim drugim kretanjem -
kretanjem časovnika. Ali kretanje časovnika je jednak problem kao i kretanje
uopšte.
Razmislimo realno (koliko je to moguće) o vremenu - o budućnosti i prošlosti.
Budućnost prelazi u prošlost u sadašnjosti, ali kolika je sadašnjost? Taj prelaz
dešava se trenutno i beskonačno brzo jer se postavlja pitanje koliki je vremenski
interval između budućnosti i prošlosti. Da li su budućnost i prošlost "u kontaktu"?
ili nisu? Ne možemo reći da jesu jer onda ne bi bilo sadašnjosti - s druge strane
ne možemo govoriti o nekom vremenskom intervalu između budućnosti i prošlosti.
Tog intervala nema. A ako tog intervala nema onda sadašnjost nema dimenziju
vremena. Ako nema vremena u sadašnjosti onda nema ni postojanja.
Ali postojanja ima!!! Zašto? Zato što mi ne postojimo ni u prošlosti ni u budućnosti
već samo u sadašnjosti.
Čemu dati prednost? Jednaki su argumenti za postojanje i nepostojanje.
Ako je postojanje jedan fenomen onda je njegova suprotnost nepostojanje.
Možemo da zaključimo da istovremeno i postojimo i ne postojimo ili da se postojanje
i nepostojanje beskonačno brzo smenjuju.
A sad razmislimo o kretanju. Šta je ustvari kretanje u prostoru?
Ako promatramo prostor kroz koji se kreće neko telo onda za svaku tačku prostora
na trajektoriji kretanja nekog tela možemo da kažemo - u toj tački su postojale
i smenjivale se materijalne tačke tela, a kad telo prođe onda u tim prostornim
tačkama odnosmo mestima više ne postoji ni jedna materijalna jedna tačka tog tela.
Sa stanovišta nekog mesta u prostoru - u tom mestu se naizmenično smenjuju
postojanje i nepostojanje niza materijalnih tačaka.
E sad ovako: Neko mesto u prostoru je jedno mesto za prostorni sistem vezan
za tu tačku odnosno to mesto. Ali ako posmatramo iz tog sistema pokretnu
materijalnu tačku onda s pravom možemo da kažemo da se vrši smena postojanja i
nepostojanja materijalne tačke u nizu tačaka prostora tog prostornog sistema

Ovim se ustvari diskusija vraća na pitanje koje je postavljeno u ovoj temi.
Takođe se odmah i isključujem iz diskusije u ovoj temi zbog toga da je neko
čudovište ne bi zaključalo.

Odlično zapažanje! Moguće je govoriti samo o poređenju trajanja (isto, manje, više), a ne o trajanju u apsolutnom smislu. Međutim, to ne znači da su sve definicije sekunde ravnopravne, jer neće sve biti u skladu sa formulisanim fizičkim zakonima, odnosno neće oblik zakona biti podjednako jednostavan po svim definicijama.

Nekada se vreme definisalo preko rotacije Zemlje oko sopstvene ose, jer se to moglo direktno meriti. Međutim, kasnije je utvrđeno da ta definicija nije u skladu za zakonima mehanike. Naime, primećuje se da se sva nebeska tela po toj definiciji sistematski ubrzavaju i to sva na istovetan način. To se onda pripisuje sistematskom usporavanju rotacije Zemlje oko sopstvene ose, ali onda definicija po kojoj je rotacija Zemlje ravnomerna postaje neodrživa.

Kasnije je uvedena definicija sekunde kao 9,192,631,770 trajanja prelaza elektrona između dva hiperfina stanja kod izotopa cezijuma Cz 133 u stanju mirovanja (nema ni temperature, ni pritiska). Do sada nije primećeno da je ta definicija felerična u odnosu na do sada formulisane zakone, a uzeta je i zato što se može direktno meriti (uzeta je u obzir konstrukcija atomskog časovnika). Na taj način se takođe može u svakoj laboratoriji reprodukovati SI sekunda - nema "centa moći" u vidu jednog etalona koji se čuva na jednom mestu u svetu, već su svi ravnopravni.

Cccc... iz ovoga što si napisao sledi da je bar jedan administrator čudovište, jer samo oni imaju pravo zaključavanja tema. Strašno.

Ako ne bude trolovanja, tipa „matematika je pogrešna, a zašto procenite sami“, neće biti ni zaključavanja.

Dakle merenje vremena je poredjenje promena stanja posmatranog fenomena sa promenom stanja referentnog fenomena. Niko nam ne garantuje da se referentni fenomen odigrava u jednakim vremenskim razmacima :) U stvari, niko ne garantuje da je vreme linearno, iako se lokalno to ne moze izmeriti, pretpostavljam...
Zanimljivo je i ovo oko kretanja, slazem se, filosofski, sa tim da kretanje znaci nestajanje i nastajanje cestice (ili cegagod)... Rekao bih onda da je kretanje prenos putem necega sto lici na rezonancu - cestica ili talas prenosi informaciju na susedni prostor a inercija govori koliko je to "tesko" izvesti, odnosno koliko je vremena potrebno za to. Ako nema masu, onda to moze izvesti brzinom svetlosti, sto dovodi do minimalnog vremena da se to odigra. Da li je pritom cestica-talas presla svaku tacku prostora? Nemam pojma... Verovatno nije ni bitno. Ali ocigledno je onda da ako prostor nije kontinuum, to nije ni protok vremena. Matematicki model onda moze biti samo zatvaranje stvarnog prostora zarad jednostavnosti i komotnosti rada. Posto nikad necemo imati matematicku tacku da ispitujemo njena svojstva...
Nesto mi se mota - da li onda svaki oblik informacije ima svoju maksimalnu brzinu, koja je posledica minimalnog vremena da izvrsi neku vrstu jedinicnog pomeraja? Tako bi tacka, koja nema informaciju, mogla ici proizvoljnom brzinom, sto se naravno ne desava, jer tacka ne postoji... Ali cestice i talasi i vec nesto konkretnije, to ne moze izvesti. Tako je svet celine koja nosi informaciju kvantovan, u zavisnosti od nje same...

???

Šta je tu čudno? Ako koristiš Zmljinu rotaciju kao časovnik, za pun obrt druga nebeska tela prelaze sve duži put, što je sasvim očekivano ako se časovnik usporava. No, onda časovnik nije dobar.

Nisam mislio da nisi u pravu, ali naizgled je čudno pa je zato interesantno i moglo bi da bude
posebna tema ili bar zanimljiv zadatak.

Naravno da ne postojimo.

Sve nam se pričinjava.
Pa nam se i pričinjava da nam se pričinjava.
Prema tome ne pričinjava nam se.

Dakle postojimo.

Filozofiramo - dakle postojimo...

Znam da je tema bajata, ali mi je vrlo interesantna, pa da probam i ja da dam svoje misljenje. Paradoks postoji samo u okviru pogresno postavljenih pocetnih postulata, zato sto su ljudi skloni da sve prilagode svom referentnom sistemu vrednosti koje su sami odredili. Iz istog tog razloga Zenon pretpostavlja da se moze preci polovina neke razdaljine, ali to vazi samo ako to merimo prema nekom nasem referentnom sistemu, bilo za vreme ili prostor. Ako iz razmisljanja izbacimo referentni sistem, postoji samo put koji treba preci, i bez obzira ako je to polovina neke nase referentne razdaljine, to je ponovo neki CEO put koji treba preci. 0 i 1. Predjen put ili ne, nema izmedju. Smatram da je pogresno razumevanje kontinuuma prostora i vremena takodje uzrok naizgled paradoksalnih problema koji postoje samo u apstraktnom smislu, ali ne i u realnom. Svi mi smo verovatno sposobni objasniti beskonacnost u apstraktnom smislu, ali da li ona stvarno postoji i u realnom svetu? Smanjivanjem vrednosti dolazimo do kvantnog nivoa koji je merljiva vrednost smanjivanja, i granicna vrednost Zenonovog paradoksa, zato sto tada vrede drugi fizicki zakoni. Kvant moze biti u superpoziciji, i na startu i na cilju istovremeno, pa ni nema potrebe da prelazi put koji u tom momentu realno i ne postoji. Kao sto ne postoji beskonacno mali prostor, misljenja sam i da ne postoji ni beskonacno mali period vremena, beskonacno veliki prostor itd. Jednostavno, mi nismo trenutno dorasli da spoznamo koje su im to granicne vrednosti, pa ih opisujemo kao beskonacne, a u trenutku kada budemo u stanju da sagledamo koje su im to granicne vrednosti, verujem da cemo shvatiti da od te vrednosti vaze neki opet drugaciji fizicki zakoni. Iako se za svemir takodje smatra da je beskonacno velik, to se trenutno kosi sa samim opisom da je nastao velikim praskom i da se siri brzinom svetlosti. Jednostavno, od tada je morao preci konacnu razdaljinu i tacka.

Kao što reče Srđan, tema se ustajala, čitao sam je površno i pre desetak godina(ima li toliko?) kada se pojavila, ali se nisam javljao. Evo da je opet podignem iz mrtvih, možda dođemo do nekih zanimljivih uvida.

Najpre sam naslov topika i pitanje u njemu, pa već je odgovoreno: Zenon nije znao za integralni i diferencijalni račun, pojam granične vrednosti i sve ono što danas znamo. E sad, tu se postavlja ono staro pitanje, znamo li mi šta je beskonačnost, beskonačno malo i beskonačno veliko. Matematika dobro barata tim simbolima(da li i pojmovima?) i u takvom modelu objašnjenja su sasvim u redu. Mogli bi fizičari da kažu, da li u fizici postoji nešto kao Kantorova hipoteza kontinuuma, neka Alisa u zemlji čuda koja nas vodi dalje od pojavnog u mikro i makrosvet.

Ono što mene zanima, a već je pomenuto na temi: da li su prostor i vreme kontinualni ili diskretni? Postoji li uopšte način da se takva pitanja eksperimentalno(empirijski) reše i potvrde i kakve bi to posledice imalo? Baš sam skroman u zahtevima. Čak i da jesu kontinualni, da li je materija diskretna ili kontinualna? Sećam se nekih analogija, davno iz srednjoškolskih dana rasprava sa jednim drugarom koji je voleo SF tipa: sunčev sistem, planete se vrte oko sunca, na jednoj žive ljudi, e pa tako se oko jezgra atoma vrte elektroni, a na jednom od njih žive mali(baš mali) ljudi, a i oni posmatraju i proučavaju svoj sunčev sistem, ali i molekule i atome i tako u nedogled. Naravno, može se ići i u suprotnom smeru, jer se naš sunčev sistem vrti oko centra galaksije...

Kako da se javis na ovu temu, kad Februara 2002.-e nisi ni znao da postoji ES ?!

To tek sad vidis kako je ES jedan dugorocan, postojan i kvalitetan Forum,
sa veoma pametnim savetima, komentarima i dobrim "vetrom u Ledja".

Pazi sta pises ...sve ulazi u Arhivu!