J-na je homogena, pa nema partikularna resenja.
Primenis Lagrangeov metod varijacije konstanti:

x''(t) + kx(t)=0

Smena: rⁿ=x⁽ⁿ⁾

r² + k*r=0
r*(r+k)=0
r₁=0 r₂=k

x(t)=x_h(t)=C₁*e + C₂*e^-kt

konstante C₁ i C₂ dobijas iz pocetnih uslova

Tijana je "malo" pogrešila.

Evo rešenja, zapravo:



Jednačina je homogena zbog one nule.

Karakteristična jednačina glasi:



Po definiciji ako među korenima jednačine postoji kompleksan koren tada ovom korenu odgovara fundamentalan sistem rešenja: . Kako je u našem slučaju , a pošto su u pitanju konjugovano kompleksni koreni to je rešenje jednačine dato sa: , gde se, kao što je već rešeno, konstante C1 i C2 nalaze iz početnih uslova. Naravno, .

A ukoliko te baš zanima (a nadam se da ne ) zašto je sve ovo tako, onda je najbolje da se latiš neke knjige gde se obrađuje teorija diferencijalnih jednačina. To bi trebalo da bude u sklopu matematičke analize.

Hvala na ispravci! Sad sam nesto pricala o diferencijalnim j-nama (decko dosao sa ispita) i setila se da sam se zesce z..... i brze-bolje () potrcah na forum da ispravim gresku, ali...
Da stvar bude smesnija jos sam napisala koja je smena a nisam po njoj postupila.
Izvinjavam se ako je to dovelo do nekakvih problema, tj. jos vece zabune...

Pozdrav!

P.S. E, mislim da necu vise da odgovaram na postove o diferencijalnim j-nama jer je ovo drugi put da gresim...

Ma nema nikakve frke, hvala inace svima.

BTW, jel tvoja smena zapravo sasvim korektna, jer si posle nje dobila r2 + k*r=0 umesto r2 + k=0?
Pozdrav!!!

Sama definicija smene je korektna jer je r na n-ti stepen jednako n-tom izvodu od x, a kako je samo x jednako svom nultom izvodu onda je r na nulti jednako 1, a greska je nastala u primeni smene tj. kod mene je r na nulti ispalo r. "Rutinska greska" kako ja to zovem, uradis milion zadataka i onda brljavis na glupostima.

A šta ako je k<0 ?

Pa ništa, onda bi imali dva realna i različita rešenja:

U principu dovoljno je zapamtiti ovo resenje jer je to resenje i u drugom slucaju.