Code:

function DownloadFile(const fileURL, FileName : String) : Boolean;
const
  BufferSize = 1024;
var
  hSession, hURL : HInternet;
  Buffer         : Array[1..BufferSize] of Byte;
  BufferLen      : DWORD;
  f              : File;
  sAppName       : String;
begin
 sAppName := ExtractFileName(ParamStr(0));
 hSession := InternetOpen(PChar(sAppName), INTERNET_OPEN_TYPE_PRECONFIG, nil, nil, 0);
 Try
   hURL := InternetOpenURL(hSession, PChar(fileURL), nil, 0, 0, 0);
   Try
     AssignFile(f, FileName);
     Rewrite(f, 1);
       repeat
         InternetReadFile(hURL, @Buffer, SizeOf(Buffer), BufferLen);
         BlockWrite(f, Buffer, BufferLen)
       until BufferLen = 0;
     CloseFile(f);
     result := TRUE;
   Finally
     InternetCloseHandle(hURL)
   End;
 Finally
   InternetCloseHandle(hSession)
 End;
end;

Code:

s: string = IdHTTP1.Get('http://neki-sajt.co.yu/index.html');