Nemam vremena sad jer mi je ovo ura za surfanje po porno stranicama ;), i nisam siguran, ali da pokusam:
ako uzmemo ovu definiciju ranga matrice: matrica A ima rang r, ako zadrzi kvadratnu podmatricu reda r cija je pripadna determinanta razlicita od nule i ako sve kvadratne podmatrice reda veceg od r imaju determinantu jednaku nuli.

Tada se (mislim) navedena tvrdnja za matricu A ranga r dokazuje preko dokazivanja svojstva determinante D reda r, koje kaze da je: determinanta D razlicita od nule onda i samo onda ako su njene kolone (vrste) linearno nezavisne (Ili analogna tvrdnja: kolone (vrste) determinante D su linearno zavisne ako i samo ako je determinanta D jednaka nuli).

Naime u dokazu navedenih tvrdnji se pokazuje da vrijedi da: ako su u determinanti D n-tog reda, sve poddeterminante (k+1)-vog reda jednake nuli, i ako postoji bar jedna poddeterminanta k-tog reda razlicita od nule, onda u determinanti D postoji k linearno nezavisnih vrsta (kolona), a svaki od preostalih n-k vrsta (kolona) se moze prikazati kao njihova linearna kombinacija...

Nadam se da sam ti dao barem smjernicu gdje ces naci odgovor: u bilo kojoj knjizi iz Linearne Algebre pronadji dokaze svojstava determinanti.. i ponovi malo gradivo o bazama i linearnoj (ne)zavisnosti ...
(a bome i ja cu morati malo:)

Moze li malo preciznije.

Matricu možeš shvatiti kao nekiliko (konačno mnogo) vektora zapisanih kao vrste, npr
1 2 3
4 5 6

možeš shvatiti kao 2 vrsta-vektora: (1, 2, 3) i (4, 5, 6), ili kao 3 kolona- vektora: (1, 4), (2, 5), (3, 6).

Eh, sad bazni vektori su oni pomoću kojih možeš svaki vektor dotičnog prostora prikazati na jedinstven način. Ukoliko govorimo o kanonskim bazama, to su ti vektori koji na svim mestima imaju 0, sem na jednom mestu, na kome imaju 1.
Bilo kako bilo, ti svaki vektor prostora možeš prikazati kao lin komb baznih vektora (koji god da su ti bazni vektori). Budući da je matrica samo konačna familija vektora, ti svaku vrstu (ili kolonu) možeš prikazati kao linearnu komb baznih vektora.
Btw, rang matrice je broj linearno nezavisnih vrsta, shvaćenih kao vektori (rang vrsta), ili broj linearno nezavisnih kolona, shvaćenih kao vektori (rang kolona). Naknadno se dokazuje da su oni jednaki.
Moje pitanje upućeno tebi je: Želiš li
da dokažeš da se svaki vektor prostora može predstaviti kao lin kombinacija vektora baze?
da efektivno izračunaš rang matrice?
da nađeš te vektore vrsta preko kojih možeš da izračunaš ostale vrste?
da pokažeš da su rang kolona i rang vrsta jedno te isto?

Mislim da mi je dovoljno ovo. Hvala na odgovoru

..ok, isprika na "nepreciznosti"..
ali hebemu, nisi trazio "pojasnjenje" teorema, a kamoli osnovnih pojmova.. nego si trazio njegov "dokaz"!.. sto me i navelo da pomislim da posjedujes izvjesnu "visu" razinu znanja i da nije problem u razumijevanju, nego u nacinu dokazivanja, na cemu se i temeljio moj odgovor - tj da se dokaz tog teorema, uz navedenu definiciju ranga matrice, svodi na dokaz gore navedenog svojstva determinante koji se lako moze naci u knjigama..
pozdrav